已知数列{an}中,a1=a,a2=2,Sn是数列{an}的前n项和,且2Sn=n(3a1+an),n∈N*.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;(

已知数列{an}中,a1=a,a2=2,Sn是数列{an}的前n项和,且2Sn=n(3a1+an),n∈N*.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;(

题型:不详难度:来源:
已知数列{an}中,a1=a,a2=2,Sn是数列{an}的前n项和,且2Sn=n(3a1+an),n∈N*
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)若bn=





2  (n=1) 
8
an+1an+2
(n≥2) 
Tn是数列{bn}的前n项和,且an+2Tn<m•
a2n+2
+2
对一切n∈N*都成立,求实数m取值范围.
答案
(Ⅰ)∵2Sn=n(3a1+an),S1=a1=a,
∴2a=4a,
所以a=0.…..(3分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 Sn=
nan
2

Sn+1=
(n+1)an+1
2

an+1=Sn+1-Sn=
(n+1)an+1
2
-
nan
2

∴(n-1)an+1=nan
∴当n≥2时,
an+1
an
=
n
n-1

an+1
an
=
n
n-1
an
an-1
=
n-1
n-2
,…,
a3
a2
=
2
1

an+1
a2
=n

∴an=2(n-1),n≥2.
∵a1=a=0满足上式,
∴an=2(n-1),n∈N*.…..(6分)
(Ⅲ)当n≥2时,bn=
8
2n•2(n+1)
=
2
n(n+1)
=2(
1
n
-
1
n+1
)
.…..(7分)
又b1=2,
∴Tn=b1+b2+…+bn=2+2(
1
2
-
1
3
)+…+2(
1
n
-
1
n+1
)
…..(9分)
=2+2(
1
2
-
1
n+1
)
=
3n+1
n+1

所以Tn=
3n+1
n+1
.…..(10分)
因为an+2Tn<m•
a2n+2
+2
对一切n∈N*都成立,
2(n+1)•
3n+1
n+1
<m•4(n+1)2+2
对一切n∈N*都成立.
m>
3
2
.
n
n2+2n+1
=
3
2
.
1
n+
1
n
+2
.…..(12分)
n+
1
n
≥2
,当且仅当n=
1
n
,即n=1时等号成立.
n+
1
n
+2≥4

1
n+
1
n
+2
1
4

m>
3
8
.…..(14分)
举一反三
已知数列{an}的通项公式为an=-2n+11,其前n项的和为Sn(n∈N*),则当Sn取最大值时,n=______.
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已知数列{an}的通项公式an=n2cosnπ,Sn为它的前n项的和,则
s2010
2011
=(  )
A.1005B.1006C.2009D.2010
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已知数列{an}的前n项和Sn=2-an
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{Sn}的前项和.
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已知数列{an}的各项均为正值,a1=1,对任意n∈N*,an+12-1=4an(an+1),bn=log2(an+1)都成立.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)令cn=an•bn,求数列{cn}的前n项和Tn
(3)当k>7且k∈N*时,证明对任意n∈N*,都有
1
bn
+
1
bn+1
+
1
bn+2
+…+
1
bnk-1
3
2
成立.
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定义集合运算:A⊙B={Z|Z=xy,x∈A,y∈B},设集合A={-1,0,1},B={sinα,cosα},则集合A⊙B的所有元素之和为(  )
A.1B.0C.-1D.sinα+cosα
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