设数列{an}中的前n项和Sn=14(an+1)2,且an>0.(1)求a1、a2;(2)求{an}的通项;(3)令bn=20-an,求数列{bn}的前多少项和
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设数列{an}中的前n项和Sn=14(an+1)2,且an>0.(1)求a1、a2;(2)求{an}的通项;(3)令bn=20-an,求数列{bn}的前多少项和
题型:不详
难度:
来源:
设数列{a
n
}中的前n项和
S
n
=
1
4
(
a
n
+1
)
2
,且
a
n
>0
.
(1)求a
1
、a
2
;
(2)求{a
n
}的通项;
(3)令b
n
=20-a
n
,求数列{b
n
}的前多少项和最大?最大值是多少?
答案
(1)∵
S
n
=
1
4
(
a
n
+1
)
2
,且
a
n
>0
当n=1时,a
1
=
s
1
=
1
4
(
a
1
+1)
2
,此时a
1
=1
当n=2时,S
2
=1+a
2
=
1
4
(
a
2
+1)
2
,此时a
2
=3
(2)∵
S
n
=
1
4
(
a
n
+1
)
2
,且
a
n
>0
.
当n≥2时,a
n
=S
n
-S
n-1
=
(
a
n
+1)
2
4
-
(
a
n-1
+1)
2
4
∴(a
n
-1)
2
=(a
n-1
+1)
2
∴(a
n
-a
n-1
-2)(a
n
+a
n-1
)=0
∵a
n
>0
∴a
n
+a
n-1
≠0
∴a
n
-a
n-1
=2
数列{a
n
}是以2为公差,以为首项的等差数列
∴a
n
=1+(n-1)×2=2n-1
(3)∵b
n
=20-a
n
=21-2n
∴S
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
=
19n+
n(n-1)
2
×(-2)
=-n
2
+20n
=-(n-10)
2
+100
当n=10,和最大,最大值是100
举一反三
已知公差不为0的等差数列{a
n
}满足a
2
=3,a
1
,a
3
,a
7
成等比数列.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)数列{b
n
}满足
b
n
=
a
n
a
n+1
+
a
n+1
a
n
,求数列{b
n
}的前n项和S
n
;
(Ⅲ)设
c
n
=
2
n
(
a
n+1
n
-λ)
,若数列{c
n
}是单调递减数列,求实数λ的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
}的通项公式a
n
=ncos
nπ
2
,其前项和为S
n
,则S
2013
等于( )
A.1006
B.2012
C.503
D.0
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知数列
2
1×3
,
2
3×5
,
2
5×7
,…,
2
(2n-1)(2n+1)
,…
的前n项和为S
n
.
(Ⅰ)计算S
1
,S
2
,S
3
,S
4
;
(Ⅱ)根据(Ⅰ)所得到的计算结果,猜想S
n
的表达式,不必证明.
题型:不详
难度:
|
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定义
n
x
1
+
x
2
+…
x
n
为n个正数x
1
,x
2
,…,x
n
的“平均倒数”.若正项数列{a
n
}的前n项的“平均倒数”为
1
2n+1
,则数列{a
n
}的通项公式为a
n
=( )
A.2n+1
B.2n-1
C.4n-1
D.4n+1
题型:不详
难度:
|
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设数列{a
n
}前n项和S
n
,且S
n
=2a
n
-2,令b
n
=log
2
a
n
(I)试求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设
c
n
=
b
n
a
n
,求证数列{c
n
}的前n项和T
n
<2.
(Ⅲ)对任意m∈N*,将数列{2b
n
}中落入区间(a
m
,a
2m
)内的项的个数记为d
m
,求数列{d
m
}的前m项和T
m
.
题型:不详
难度:
|
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