已知数列{an}满足an+1=-an2+2an(n∈N*),且0<a1<1.(1)用数学归纳法证明:0<an<1;(2)若bn=lg(1-an),且a1=910
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已知数列{an}满足an+1=-an2+2an(n∈N*),且0<a1<1.(1)用数学归纳法证明:0<an<1;(2)若bn=lg(1-an),且a1=910
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}满足a
n+1
=-a
n
2
+2a
n
(n∈N
*
),且0<a
1
<1.
(1)用数学归纳法证明:0<a
n
<1;
(2)若b
n
=lg(1-a
n
),且
a
1
=
9
10
,求无穷数列
{
1
b
n
}
所有项的和.
答案
(1)证明:①当n=1时,由条件知,成立
②假设n=k成立,即0<a
k
<1成立,
当n=k+1时,a
k+1
=-a
k
2
+2a
k
=-(a
k
-1)
2
+1,
∵0<a
K
<1
∴0<(a
k
-1)
2
<1
∴0<-(a
k
-1)
2
+1<1
∴0<a
K+1
<1
这就是说,当=k+1时,0<a
k
<1也成立.
根据①②知,对任意n∈N*,不等式0<a
n
<1恒成立.
(2)1-a
n+1
=(1-a
n
)
2
,0<a
n
<1;
lg(1-a
n+1
)=lg(1-a
n
)
2
,,即lg(1-a
n+1
)=2lg(1-a
n
)
即:b
n+1
=2b
n
∴{b
n
}是以-1为首项,以2为公比的等比数列.
∴b
n
=-2
n-1
,∴
1
b
n
= -
1
2
n-1
无究数列{
1
b
n
}所有项的和为:
1
b
1
+
1
b
2
+…+
1
b
n
+…
=
lim
n→∞
(
1
b
1
+
1
b
2
+…+
1
b
n
)=
lim
n→∞
[(-1)×
1-
(
1
2
)
n
1-
1
2
]=-2×
lim
n→∞
(
1-(
1
2
)
n
)=-2
举一反三
在数列{a
n
}中,a
1
=3,a
n+1
=a
n
+
1
n(n+1)
,则通项公式a
n
=______.
题型:不详
难度:
|
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在数列{a
n
}中,a
n+1
+a
n
=2n-44(n∈N*,)a
1
=-23
(1)求a
n
;(2)设S
n
为{a
n
}的前n项和,求S
n
的最小值.
题型:不详
难度:
|
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若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”,则在1~100这100个数中,能称为“和平数”的所有数的和是
( )
A.130
B.325
C.676
D.1300
题型:肇庆二模
难度:
|
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有一个翻硬币游戏,开始时硬币正面朝上,然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币:①骰子出现1点时,不翻动硬币;②出现2,3,4,5点时,翻动一下硬币,使另一面朝上;③出现6点时,如果硬币正面朝上,则不翻动硬币;否则,翻动硬币,使正面朝上.按以上规则,在骰子掷了n次后,硬币仍然正面朝上的概率记为P
n
.
(Ⅰ)求证:∀n∈N
*
,点(P
n
,P
n+1
)恒在过定点(
5
9
,
5
9
),斜率为
-
1
2
的直线上;
(Ⅱ)求数列{P
n
}的通项公式P
n
;
(Ⅲ)用记号S
n→m
表示数列{
P
n
-
5
9
}从第n项到第m项之和,那么对于任意给定的正整数k,求数列S
1→k
,S
k+1→2k
,…,S
(n-1)k+1→nk
,…的前n项和T
n
.
题型:湛江二模
难度:
|
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已知定义在R上的函数f(x)满足:①当x>0时,f(x)>1,②∀x、y∈R,f(x+y)=f(x) f(y).数列{a
n
}满足①a
1
=1,②f(a
n+1
)=f(a
n
) f(1),(n∈N
*
),
T
n
=-
a
1
2
+
a
2
2
-
a
3
2
+
…+(-1)
n
a
2n
,则T
100
等于( )
A.4900
B.-4900
C.5050
D.-5050
题型:漳州模拟
难度:
|
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