已知定义在R上的函数f(x)满足:①当x>0时,f(x)>1,②∀x、y∈R,f(x+y)=f(x) f(y).数列{an}满足①a1=1,②f(an+1)=f
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已知定义在R上的函数f(x)满足:①当x>0时,f(x)>1,②∀x、y∈R,f(x+y)=f(x) f(y).数列{an}满足①a1=1,②f(an+1)=f
题型:漳州模拟
难度:
来源:
已知定义在R上的函数f(x)满足:①当x>0时,f(x)>1,②∀x、y∈R,f(x+y)=f(x) f(y).数列{a
n
}满足①a
1
=1,②f(a
n+1
)=f(a
n
) f(1),(n∈N
*
),
T
n
=-
a
1
2
+
a
2
2
-
a
3
2
+
…+(-1)
n
a
2n
,则T
100
等于( )
A.4900
B.-4900
C.5050
D.-5050
答案
对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)•f(y),
可令x=1,y=0 可得 f(0+1)=f(0).f(1)
因为x>0时,有0<f(x)<1,故f(1)>0
所以 f(0)=1
再取x=-y,可得f(0)=f(-y+y)=f(-y)•f(y)=1
所以f(-y)=
1
f(y)
,同理以f(-x)=
1
f(x)
当x<0时,-x>0,根据已知条件得f(-x)>1,即
1
f(x)
>1,
变形得0<f(x)<1.
综上所述任意x∈R,f(x)>0.
设任意的x
1
,x
2
∈R,且x
1
<x
2
,则x
2
-x
1
>0,f(x
2
-x
1
)=f(x
2
)f(-x
1
)=
f(
x
2
)
f(
x
1
)
>1,f(x
2
)>f(x
1
)
所以函数f(x)在R上是单调递增函数.
f(a
n+1
)=f(a
n
) f(1)=f(a
n
+1),所以a
n+1
=a
n
+1,数列{a
n
}是首项为1,公差为1的等差数列,通项公式为a
n
=n.
T
100
=(-
1
2
+
2
2
)+(-
3
2
+
4
2
) +…(-
99
2
+
100
2
)
=3+7+…+199=
(3+199)×50
2
=5050.
故选C.
举一反三
设数列{x
n
}满足lnx
n+1
=1+lnx
n
,且x
1
+x
2
+x
3
+…+x
10
=10.则x
21
+x
22
+x
23
+…+x
30
的值为( )
A.11•e
20
B.11•e
21
C.10•e
21
D.10•e
20
题型:不详
难度:
|
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若数列{a
n
}的前n项和S
n
=2
n
-1,则a
3
=( )
A.2
B.4
C.6
D.8
题型:佛山模拟
难度:
|
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给定
a
n
=
1
n+1
+
n
(n∈
N
*
)
,则使a
1
+a
2
+…+a
k
为整数的最小正整数k的值是______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
在数列{a
n
}中,前n项和为S
n
,且a
1
=1,a
2
=2,a
n+2
=a
n
+1+(-1)
n
,则S
100
=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
若数列1,2cosθ,2
2
cos
2
θ,2
3
cos
3
θ,…,前100项之和为0,则θ的值是( )
A.
kπ±
π
3
(k∈Z)
B.
2kπ±
π
3
(k∈Z)
C.
2kπ±
2π
3
(k∈Z)
D.以上答案均不对
题型:不详
难度:
|
查看答案
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