已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=12（3n+Sn） 对一切正整数n成立（I）求出数列{an}的通项公式；（II）设bn=n3an，求数列{bn}的前n

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已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=

1

2

（3n+S_n） 对一切正整数n成立
（I）求出数列{a_n}的通项公式；
（II）设bn=

n

3

an，求数列{b_n}的前n项和B_n．

答案

（I）由已知得S_n=2a_n-3n，
S_n+1=2a_n+1-3（n+1），两式相减并整理得：a_n+1=2a_n+3（2分）
所以3+a_n+1=2（3+a_n），又a₁=S₁=2a₁-3，a₁=3可知3+a₁=6≠0，
进而可知a_n+3≠0
所以

3+an+1

3+an

=2，
故数列{3+a_n}是首相为6，公比为2的等比数列，
所以3+a_n=6•2^n-1，即a_n=3（2ⁿ-1）（6分）
（II）b_n=n（2ⁿ-1）=n2ⁿ-n
设T_n=1×2+2×2²+3×2³++n×2ⁿ（1），
2T_n=1×2²+2×2³++（n-1）2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹（2）
由（2）-（1）得T_n=-（2+2²+2³+…+2ⁿ）+n2ⁿ⁺¹=-

2-2n+1

1-2

+n2n+1=2+(n-1)2n+1，
∴Bn=Tn-(1+2+3++n)=2+(n-1)2n+1-

n(n+1)

2

（12分）