数列{an}，前n项和Sn，满足a1=12，Sn+2an+1=1(n∈N*)（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{nSn}前n项和Tn．

题型：不详难度：来源：

数列{a_n}，前n项和S_n，满足a1=

1

2

，Sn+2an+1=1(n∈N*)
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{nS_n}前n项和T_n．

答案

（1）∵Sn+2an+1=1(n∈N*)
∴S_n-1+2a_n=1（n≥2）
两式相减可得，S_n-S_n-1+2a_n+1-2a_n=0
即2a_n+1=a_n
∴

an+1

an

=

1

2

∵a1=

1

2

∴数列{a_n}是以

1

2

为首项以

1

2

为公比的等比数列
∴an=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n
（2）：∵Sn+2an+1=1(n∈N*)
∴Sn+2•(

1

2

)n+1=1
∴Sn=1-(

1

2

)n
∴nS_n=n-n•(

1

2

)n
令Sn=1•

1

2

+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n
则

1

2

Sn=(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1
两式相减可得，

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1
=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-n•(

1

2

)n+1
∴S_n=2-

1

2n-1

-

n

2n

=2-

2+n

2n

∴Tn=1-1•

1

2

+2-2•(

1

2

)2+…+n-n•(

1

2

)n
=(1+2+3+…+n)-[1•

1

2

+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n]
=

n(n+1)

2

-2+

2+n

2n