已知数列{an}中,a1=8,a4=2且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N*)(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|a
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已知数列{an}中,a1=8,a4=2且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N*)(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|a
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}中,a
1
=8,a
4
=2且满足a
n+2
-2a
n+1
+a
n
=0(n∈N
*
)
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设S
n
=|a
1
|+|a
2
|+…+|a
n
|,求S
20
;
(3)
设
b
n
=
4
n(14-
a
n
)
,
T
n
=
b
1
+
b
2
+…+
b
n
(n∈
N
*
)
,是否存在最大的整数m,使得对任意n∈N
*
,均有
T
n
>
m
9
成立?若存在,求出m,若不存在,请说明理由.
答案
(1)∵a
n+2
-2a
n+1
+a
n
=0(n∈N
*
)
∴a
n+2
-a
n+1
=a
n+1
-a
n
∴{a
n
}为等差数列,
设其公差为d…(1分)
又a
1
=8,a
4
=2,∴8+3d=2,∴a
1
=8,d=-2
∴a
n
=-2n+10 …(3分)
(2)∵a
n
=-2n+10,∴n≤5时,a
n
≥0;n≥6时,a
n
<0…(4分)
∴n≥6时,S
n
=|a
1
|+|a
2
|+…+|a
n
|=a
1
+a
2
+…+a
5
-a
6
-…-a
n
=2(a
1
+…+a
5
)-(a
1
+…+a
n
),
所以
S
n
=
n
2
-9n+40
…(7分)
∴S
20
=260…(8分)
(3)由(1)可得
b
n
=
4
n(2n+4)
=
1
n
-
1
n+2
则T
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
=
(1-
1
3
)+(
1
2
-
1
4
)+(
1
3
-
1
5
)+…+(
1
n
-
1
n+2
)=1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2
…(10分)
由T
n
为关于n的增函数,故
(
T
n
)
min
=
T
1
=
2
3
,
于是欲使
T
n
>
m
9
对n∈
N
*
恒成立,则
m
9
<
2
3
,∴m<6
∴存在最大的整数m=5满足题意…(12分)
举一反三
已知数列1,
1
1+2
,
1
1+2+3
,…,
1
1+2+3+…+n
,…,则其前n项的和等于______.
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
},前n项和S
n
,满足
a
1
=
1
2
,
S
n
+2
a
n+1
=1(n∈
N
*
)
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)求数列{nS
n
}前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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在数列{a
n
}中,a
1
=-60,a
n+1
=a
n
+3,则|a
1
|+|a
2
|+…+|a
30
|=( )
A.-445
B.765
C.1080
D.3105
题型:不详
难度:
|
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设{a
n
}是公差不为零的等差数列,S
n
为其前n项和,满足S
4
=8且a
1
、a
2
、a
5
成等比数列.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{b
n
}满足:
b
n
-
a
n
=
2
n+1
,n∈N
*
,T
n
为数列{b
n
}的前n项和,问是否存在正整数n,使得T
n
=2012成立?若存在,求出n;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}通项为
a
n
=ncos(
nπ
2
+
π
3
)
,S
n
为其前n项的和,则S
2012
=______.
题型:不详
难度:
|
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