已知函数y=x2-x+nx2+1(n∈N*,y≠1)的最小值为an,最大值为bn,且cn=4(anbn-12).数列{cn}的前n项和为Sn.(1)请用判别式法

已知函数y=x2-x+nx2+1(n∈N*,y≠1)的最小值为an,最大值为bn,且cn=4(anbn-12).数列{cn}的前n项和为Sn.(1)请用判别式法

题型:不详难度:来源:
已知函数y=
x2-x+n
x2+1
(n∈N*,y≠1)的最小值为an,最大值为bn,且cn=4(anbn-
1
2
).数列{cn}的前n项和为Sn
(1)请用判别式法求a1和b1
(2)求数列{cn}的通项公式cn
(3)若{dn}为等差数列,且dn=
Sn
n+c
(c为非零常数),设f(n)=
dn
(n+36)dn+1
(n∈N*),求f(n)的最大值.
答案
(1)n=1时,y=
x2-x+1
x2+1
,则(y-1)x2+x+y-1=0
∵x∈R,y≠1,
∴△=1-4(y-1)(y-1)≥0,即4y2-8y+3≤0
1
2
≤y≤
3
2

∴a1=
1
2
,b1=
3
2

(2)由y=
x2-x+n
x2+1
,可得(y-1)x2+x+y-n=0
∵x∈R,y≠1,
∴△=1-4(y-1)(y-n)≥0,即4y2-4(1+n)y+4n-1≤0
由题意知:an,bn是方程4y2-4(1+n)y+4n-1=0的两根,
∴an•bn=
4n-1
4

∴cn=4(anbn-
1
2
)=4n-3;
(3)∵cn=4n-3,∴Sn=2n2-n,∴dn=
Sn
n+c
=
2n2-n
n+c

∵{dn}为等差数列,∴2d2=d1+d3
∴2c2+c=0,∴c=0(舍去)或c=-
1
2
,∴dn=
2n2-n
n-
1
2
=2n
∴f(n)=
dn
(n+36)dn+1
=
n
n2+37n+36
=
1
n+
36
n
+37
1
2


36
+37
=
1
49

当且仅当n=
36
n
,即n=6时,取等号,∴f(n)的最大值为
1
49
举一反三
求和
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
99×100
=______.
题型:不详难度:| 查看答案
等差数列{an}中,a1=3,前n项和为Sn,等比数列{bn}各项均为正数,b1=1,且b2+S2=12,{bn}的公比q=
S2
b2

(1)求an与bn
(2)求
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
题型:花都区模拟难度:| 查看答案
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
9×10
=(  )
A.0.1B.0.3C.0.6D.0.9
题型:不详难度:| 查看答案
f1(x)=
2
1+x
fn+1(x)=f1[fn(x)],且an=
fn(0)-1
fn(0)+2
,则a1+a2+…+a2009=______.
题型:不详难度:| 查看答案
数列{an},已知对任意正整数n,a1+a2+a3+…+an=2n-1,则a12+a22+a32+…+an2 等于(  )
A.(2n-1)2B.
1
3
(2n-1)
C.
1
3
(4n-1)
D.4n-1
题型:不详难度:| 查看答案
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