已知对任意正整数n都有a1+a2+…+an=n3，则1a2-1+1a3-1+…+1a100-1=______．

题型：不详难度：来源：

已知对任意正整数n都有a₁+a₂+…+a_n=n³，则

1

a2-1

+

1

a3-1

+…+

1

a100-1

=______．

答案

∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=n³，
∴a₁=1，a₁+a₂=8，a₁+a₂+a₃=27，a₁+a₂+a₃+a₄=64，a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=125，
∴a₂=7，a₃=19，a₄=37，a₅=61，a_n=3n（n-1）+1，
∴a₁₀₀=3×100×99+1，
∴

1

a2-1

+

1

a3-1

+…+

1

a100-1

=

1

6

+

1

18

+

1

36

+

1

60

+…+

1

3×100×99

，
=

1

3

（

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

20

+…+

1

100×99

），
=

1

3

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

99

-

1

100

），
=

1

3

（1-

1

100

），
=

33

100

．
故答案为：

33

100