设数列{an}的前n项和为Sn,已知an+2Sn•Sn-1=0(n≥2,n∈N*),a1=12(1)求an(2)设bn=2n-1sn,求数列{bn}的前n项和T
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设数列{an}的前n项和为Sn,已知an+2Sn•Sn-1=0(n≥2,n∈N*),a1=12(1)求an(2)设bn=2n-1sn,求数列{bn}的前n项和T
题型:不详
难度:
来源:
设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知
a
n
+2
S
n
•
S
n-1
=0(n≥2,n∈N*),
a
1
=
1
2
(1)求a
n
(2)设
b
n
=
2
n-1
s
n
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
答案
因为:
a
n
+2
S
n
•
S
n-1
=0(n≥2,n∈N*),
a
1
=
1
2
所以:s
n
-s
n-1
+2s
n
•s
n-1
=0⇒
1
s
n
-
1
s
n-1
=2.
∴{
1
s
n
}是以2为首项,2为公差的等差数列;
∴
1
s
n
=2+2(n-1)=2n⇒
s
n
=
1
2n
.
∴n≥2时,a
n
=s
n
-s
n-1
=
1
2n
-
1
2(n-1)
=-
1
2n(n-1)
.
而
a
1
=
1
2
不适合上式.
∴
a
n
=
1
2
(n=1)
-1
2n(n-1)
(n≥2)
(6分)
(2)∵
b
n
=
2
n-1
s
n
=2n•2
n-1
,
∴T
n
=2(1•2
0
+2×2
1
+3×2
2
+…+n•2
n-1
)
∴2T
n
=2(1×2
1
+2×2
2
+3×2
3
+…+(n-1)•2
n-1
+n•2
n
).
两式相减可得,-T
n
=2(1×2
0
+2
1
+…+2
n-1
-n•2
n
)=2×[
1×(1-2
n
)
1-2
-n•2
n
]=(1-n)2
n+1
-2
∴T
n
=(n-1)2
n+1
+2(6分)
举一反三
已知数列{a
n
}的首项
a
1
=
3
5
,
a
n+1
=
3
a
n
2
a
n
+1
,n=1,2,….
(Ⅰ)求{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)证明:对任意的x>0,
a
n
≥
1
1+x
-
1
(1+x)
2
(
2
3
n
-x)
,n=1,2,…;
(Ⅲ)证明:
a
1
+
a
2
+…+
a
n
>
n
2
n+1
.
题型:陕西
难度:
|
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数列{a
n
}的前n项和S
n
=n
2
+n,设数列{b
n
},
b
n
=
2
a
n
.
(1)求数列{b
n
}的前n项和T
n
;
(2)求R
n
=a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
=n.2
n
求数列{a
n
}的前n项和S
n
.
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
}中,
a
n
=
1+2+3+…+n
n
,
b
n
=
1
a
n
a
n+1
的前n项和为______.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
=
1
n(n+1)
求数列{a
n
}的前n项和S
n
.
题型:不详
难度:
|
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