已知数列{an},其前n项和为Sn,点(n,Sn)在以F(0,14)为焦点,以坐标原点为顶点的抛物线上,数列{bn}满足bn=2 an.(1)求数列{an},{
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已知数列{an},其前n项和为Sn,点(n,Sn)在以F(0,14)为焦点,以坐标原点为顶点的抛物线上,数列{bn}满足bn=2 an.(1)求数列{an},{
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
},其前n项和为S
n
,点(n,S
n
)在以F(0,
1
4
)为焦点,以坐标原点为顶点的抛物线上,数列{b
n
}满足b
n
=2
a
n
.
(1)求数列{a
n
},{b
n
}的通项公式;
(2)设c
n
=a
n
×b
n
,求数列{c
n
}的前n项和T
n
.
答案
(1)以F(0,
1
4
)为焦点,以坐标原点为顶点的抛物线方程为x
2
=y
∵点(n,S
n
)在x
2
=y上,
∴S
n
=n
2
∴n≥2时,S
n-1
=(n-1)
2
两式相减可得a
n
=2n-1
∵n=1时,a
1
=1满足上式
∴a
n
=2n-1,
∴
b
n
=
2
2n-1
;
(2)由(1)知,c
n
=(2n-1)×2
2n-1
∴T
n
=1×2
1
+3×2
3
+…+(2n-1)×2
2n-1
∴4T
n
=1×2
3
+3×2
5
+…+(2n-1)×2
2n+1
两式相减可得-3T
n
=2
1
+2×2
3
+2×2
5
+…+2×2
2n-1
-(2n-1)×2
2n+1
=
(10-12n)×
4
n
-10
3
∴T
n
=
-
(10-12n)×
4
n
-10
9
.
举一反三
已知数列{a
n
}中,a
1
=1,a
n
<a
n+1
,设b
n
=
a
n+1
-
a
n
a
n+1
•
a
n+1
,S
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
,求证:
(Ⅰ)
b
n
<2(
1
a
n
-
1
a
n+1
)
;
(Ⅱ)若数列{a
n
}是公比为q且q≥3的等比数列,则S
n
<1.
题型:不详
难度:
|
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给出集合序列{1},{2,3},{4,5,6},{7,8,9,10},…,设S
n
是第n个集合中元素之和,则S
21
为( )
A.1113
B.4641
C.5082
D.5336
题型:不详
难度:
|
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数列{(-1)
n
•n}的前n项和为S
n
,则S
2007
等于( )
A.1004
B.-1004
C.2005
D.-2005
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}的前n项和S
n
满足:S
n
+S
m
=S
n+m
,且a
1
=1,则a
2013
=______.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}的通项为a
n
,前n项和为s
n
,且a
n
是s
n
与2的等差中项,数列{b
n
}中,b
1
=1,点P(b
n
,b
n+1
)在直线x-y+2=0上.
(Ⅰ)求数列{a
n
}、{b
n
}的通项公式a
n
,b
n
(Ⅱ)设{b
n
}的前n项和为B
n
,试比较
1
B
1
+
1
B
2
+…+
1
B
n
与2的大小.
(Ⅲ)设T
n
=
b
1
a
1
+
b
2
a
2
+…+
b
n
a
n
,若对一切正整数n,T
n
<c(c∈Z)恒成立,求c的最小值.
题型:不详
难度:
|
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