已知正项数列满足4Sn=(an+1)2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=1anan+1,求数列{bn}的前n项和Tn.
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已知正项数列满足4Sn=(an+1)2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=1anan+1,求数列{bn}的前n项和Tn.
题型:不详
难度:
来源:
已知正项数列满足4S
n
=(a
n
+1)
2
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设b
n
=
1
a
n
a
n+1
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
答案
(Ⅰ)∵4S
n
=(a
n
+1)
2
.
∴当n≥2时,4S
n-1
=(a
n-1
+1)
2
.
两式相减可得,4(s
n
-s
n-1
)=
(
a
n
+1
)
2
-(
a
n-1
+1
)
2
即4a
n
=
(
a
n
+1
)
2
-(
a
n-1
+1
)
2
整理得a
n
-a
n-1
=2 …(4分)
又a
1
=1
∴a
n
=1+2(n-1)=2n-1 …(6分)
(Ⅱ) 由(1)知
b
n
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
…(8分)
所以
T
n
=
1
2
(1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1
)
=
1
2
(1-
1
2n+1
)=
n
2n+1
…(12分)
举一反三
已知数列{a
n
}中a
1
=1,a
2
=2,数列{a
n
}的前n项和为S
n
,当整数n>1时,S
n+1
+S
n-1
=2(S
n
+S
1
)都成立,则数列{
1
a
n
a
n+1
}的前n项和为______.
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,a
5
=5,S
5
=15,则数列
{
1
a
n
a
n+1
}
的前2013项和为______.
题型:不详
难度:
|
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已知等比数列{a
n
}的公比为q(q≠1)的等比数列,且a
2011
,a
2013
,a
2012
成等差数列.
(Ⅰ)求公比q的值;
(Ⅱ)设{b
n
}是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为S
n
,当n≥2时,比较S
n
与b
n
的大小,并说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知各项均为正数的数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且S
n
、a
n
、
1
2
成等差数列.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)若
a
2n
=
2
-
b
n
,设
C
n
=
b
n
a
n
,求数列{C
n
}的前项和T
n
.
题型:湖北模拟
难度:
|
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定义:称
n
p
1
+
p
2
+…+
p
n
为n个正数p
1
,p
2
,…p
n
的“均倒数”.若已知数列{a
n
}的前n项的“均倒数”为
1
2n+1
.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设
d
n
=
2
n
•
a
n
,试求数列{d
n
}的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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