已知{an}是由非负整数组成的数列,满足a1=0,a2=3,an+1an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,4,5,…,(1)求a3;(2)证明an=a
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已知{an}是由非负整数组成的数列,满足a1=0,a2=3,an+1an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,4,5,…, (1)求a3; (2)证明an=an-2+2,n=3,4,5,…; (3)求{an}的通项公式及其前n项和Sn. |
答案
(1)由题设得a3a4=10,且a3、a4均为非负整数,所以a3的可能的值为1,2,5,10. 若a3=1,则a4=10,a5=,与题设矛盾, 若a3=5,则a4=2,a5=,与题设矛盾, 若a3=10,则a4=1,a5=60,a6=,与题设矛盾, 所以a3=2. (2)用数学归纳法证明, ①当n=3,a3=a1+2,等式成立, ②假设当n=k(k≥3)时等式成立,即ak=ak-2+2, 由题设ak+1ak=(ak-1+2)(ak-2+2), ∵ak=ak-2+2≠0,∴ak+1=ak-1+2, 也就是说,当n=k+1时,等式ak+1=ak-1+2成立. 根据①和②,对于所有k≥3,有ak+1=ak-1+2. (3)由a2k-1=a2(k-1)-1+2,a1=0及a2k=a2(k-1)+2,a2=3, 得a2k-1=2(k-1),a2k=2k+1,k=1,2,3, 即an=n+(-1)n,n=1,2,3, 所以Sn= | n(n+1),当n为偶数 | n(n+1)-1,当n为奇数 |
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举一反三
已知数列{an}满足:a1=λ,an+1=an+n-2,其中λ∈R是常数,n∈N*. (1)若λ=-3,求a2、a3; (2)对∀λ∈R,求数列{an}的前n项和Sn; (3)若λ+12>0,讨论{Sn}的最小项. |
已知Sn是非零数列{an}的前n项和,且Sn=2an-1,则S2011等于( )A.1-22010 | B.22011-1 | C.22010-1 | D.1-22011 |
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定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a18的值为 ______,这个数列的前n项和Sn的计算公式为 ______. |
设数列{an}满足:a1=,1,a2=,an+2=an+1+an,(n=1,2,…) (1)令bn=an+1-an,(n=1,2…)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{nan}的前n项和Sn. |
在数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),则S10=______. |
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