已知数列{an}是等比数列,a1=2,a3=18.数列{bn}是等差数列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20.(1)求数列{an},{bn
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已知数列{an}是等比数列,a1=2,a3=18.数列{bn}是等差数列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设Pn=b1+b4+b7+…+b3n-2,Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8,其中n=1,2,3,….试比较Pn与Qn的大小,并证明你的结论. |
答案
(1)设{an}的公比为q,由a3=a1q2得q2==9,q=±3. ①当q=-3时,a1+a2+a3=2-6+18=14<20, 这与a1+a2+a3>20矛盾,故舍去. ②当q=3时,a1+a2+a3=2+6+18=26>20,故符合题意. ∴an=a1qn-1=2×3n-1 设数列{bn}的公差为d,由b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3=26, 得4b1+d=26,结合b1=2,解之得d=3, 所以bn=bn+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1 综上所述,数列{an},{bn}的通项公式分别为an=2×3n-1、bn=3n-1; (2)∵b1,b4,b7,…,b3n-2组成以3d为公差的等差数列, ∴Pn=nb1+•3d=n2-n; 同理可得:b10,b12,b14,…,b2n+8组成以2d为公差的等差数列,且b10=29, ∴Qn=nb10+•2d=3n2+26n. 因此,Pn-Qn=(n2-n)-(3n2+26n)=n(n-19). 所以对于正整数n,当n≥20时,Pn>Qn;当n=19时,Pn=Qn;当n≤18时,Pn<Qn. |
举一反三
设a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12=(x2-2x-2)6,其中ai(i=0,1,2…12)为常数,则2a2+6a3+12a4+20a5+…+132a12=( ) |
已知数列{an}满足a1=-1,an+1-2an-3=0数列{bn}满足bn=log2(an+3). (1)求{bn}的通项公式; (2)若数列{2n+1bn}的前n项的和为sn,试比较sn与8n2-4n的大小. |
设数列a1,a2,…,an,…满足a1=a2=1,a3=2,且对任何自然数n,都有anan+1an+2≠1,又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,则a1+a2+…+a100的值是______. |
已知α为锐角,且tanα=-1,函数f(x)=2xtan2α+sin(2α+),数列{an}的首项a1=1,an+1=f(an). (1)求函数f(x)的表达式; (2)在△ABC中,若∠A=2α,∠C=,BC=2,求△ABC的面积 (3)求数列{an}的前n项和Sn. |
已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2-(+1)an(n≥1). (1)求证:数列{}是等比数列; (2)设数列{2nan}的前n项和为Tn,An=+++…+.试比较An与的大小. |
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