数列{an}的前n项和为Sn=n2,数列{bn}满足b1=1,且bn=2bn-1+1,n≥2.(1)求an,bn的表达式;(2)设cn=an•bn,求数列{cn
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数列{an}的前n项和为Sn=n2,数列{bn}满足b1=1,且bn=2bn-1+1,n≥2. (1)求an,bn的表达式; (2)设cn=an•bn,求数列{cn}的前n项和Tn. |
答案
(1)an= | S1=1 (n=1) | Sn-Sn-1=2n-1 (n≥2) |
| | (2分) 当n=1时,2n-1=1,所以an=2n-1(n≥1)(3分) ∵bn=2bn-1+1∴bn+1=2(bn-1+1)n≥2(4分) ∴bn+1成等比数列,且首项b1+1=2,公比q=2(5分) ∴bn+1=2•2n-1,∴bn=2n-1(6分)
(2)cn=an•bn=(2n-1)•(2n-1)=(2n-1)•2n-(2n-1)(7分) 令dn=(2n-1)•2n, 记Rn=d1+d2+…+dn =1•21+3•22+…+(2n-3)•2n-1+(2n-1).2n 则2Rn=1•22+3•23+5•24+…+(2n-3)•2n+(2n-1)•2n+1 相减,故Rn=-2-2•22-2•23-…-2•2n+(2n-1)•2n+1 =(2n-3)•2n+1+6(10分) 故Tn=Rn-[1+3+5+…+(2n-1)]=(2n-3)•2n+1+6-n2(12分) |
举一反三
已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=2Sn. (1)求a2,a3,a4的值; (2)求数列{an}的通项公式an; (3)设bn=nan,求数列{bn}的前n项和Tn. |
数列{an}中,an+1•an=an+1-1,且a2010=2,则前2010项的和等于( ) |
设数列{an}的前n项和为Sn,Tn=,称Tn为数列a1,a2,…an的“理想数”,已知数列a1,a2,…a500的“理想数”为2004,那么数列2,a1,a2,…a500的“理想数”为( ) |
已知数列{an}满足a1=,点(2Sn+an,Sn+1)在f(x)=x+的图象上: (1)求数列{an}的通项公式; (2)若cn=(an-)n,Tn为cn的前n项和,求Tn. |
已知等差数列{an}满足a2=3,Sn-Sn-3=51(n>3),Sn=100,则n的值为( ) |
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