设数列{an}是等比数列,a1=C2m+33m•Am-21,公比q是(x+14x2)4的展开式中的第二项(按x的降幂排列).(1)用n,x表示通项an与前n项和
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设数列{an}是等比数列,a1=C2m+33m•Am-21,公比q是(x+14x2)4的展开式中的第二项(按x的降幂排列).(1)用n,x表示通项an与前n项和
题型:不详
难度:
来源:
设数列{a
n
}是等比数列,a
1
=C
2m+3
3m
•A
m-2
1
,公比q是
(x+
1
4
x
2
)
4
的展开式中的第二项(按x的降幂排列).
(1)用n,x表示通项a
n
与前n项和S
n
;
(2)若A
n
=C
n
1
S
1
+C
n
2
S
2
+…+C
n
n
S
n
,用n,x表示A
n
.
答案
(1)∵a
1
=C
2m+3
3m
•A
m-2
1
∴
2m+3≥3m
m-2≥1
∴m=3,…(2分)
由
(x+
1
4
x
2
)
4
的展开式中的同项公式知
T
2
=
C
14
x
4-1
(
1
4
x
2
)=x
,
∴a
n
=x
n-1
∴由等比数列的求和公式得:
S
n
=
n,x=1
1-
x
n
1-x
,x≠1
…(4分)
(2)当x=1时,S
n
=n,
所以:A
n
=C
n
1
+2C
n
2
+3C
n
3
+…+nC
n
n
=0C
n
0
+1C
n
1
+2C
n
2
+3C
n
3
+…+nC
n
n
,
又∵A
n
=nC
n
n
+(n-1)C
n
n-1
+(n-2)C
n
n-2
+…+C
n
1
+0C
n
0
,
∴上两式相加得:2A
n
=n(C
n
0
+C
n
1
+C
n
2
+…+C
n
n
)=n•2
n
,
∴A
n
=n•2
n-1
,
当x≠1时,
S
n
=
1-
x
n
1-x
,
所以有:
A
n
=
1-x
1-x
C
n1
+
1-
x
2
1-x
C
n2
+…+
1-
x
n
1-x
C
nn
=
1
1-x
[(
C
1n
+
C
2n
+…+
C
nn
)-(x
C
1n
+
x
2
C
2n
+…+
x
n
C
nn
)]
=
1
1-x
[
2
n
-
(1+x)
n
],
∴
A
n
=
n•
2
n-1
,x=1
2
n
-
(1+x)
n
1-x
,x≠1
…(10分)
举一反三
已知集合A={a|a=2
n
+9n-4,n∈N且a<2000},则A中元素的个数为______,这些元素的和 ______.
题型:不详
难度:
|
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若函数y=f(x)对于任意的x,y∈N*都有f(x+y)=f(x)•f(y)且f(1)=2,则
f(2)
f(1)
+
f(3)
f(2)
+
f(4)
f(3)
+…+
f(2007)
f(2006)
=______.
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
}中,
S
n
=4-
a
n
-
1
2
n-2
.
(Ⅰ)求a
1
,a
2
,a
3
,a
4
;
(Ⅱ)猜想a
n
的表达式,并用数学归纳法加以证明.
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
}满足
a
n
+
a
n+1
=
1
2
(n∈
N
*
),
a
1
=-
1
2
,S
n
是{a
n
}的前n项和,则S
2011
=______.
题型:东城区模拟
难度:
|
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根据如图所示的程序框图,将输出a,b的值依次分别记为a
1
,a
2
,…,a
n
,…,a
2008
;b
1
,b
2
,…,b
n
,…,b
2008
.
(Ⅰ)求数列 { a
n
} 的通项公式;
(Ⅱ)写出b
1
,b
2
,b
3
,b
4
,由此猜想{ b
n
}的通项公式,并证明你的证明;
(Ⅲ)在 a
k
与 a
k+1
中插入b
k
+1个3得到一个新数列 { c
n
},设数列 { c
n
}的前n项和为S
n
,问是否存在这样的正整数m,使数列{ c
n
}的前m项的和S
m
=2008,如果存在,求出m的值,如果不存在,请说明理由.
.
题型:不详
难度:
|
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