数列{an}中,Sn=4-an-12n-2.(Ⅰ)求a1,a2,a3,a4;(Ⅱ)猜想an的表达式,并用数学归纳法加以证明.
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数列{an}中,Sn=4-an-12n-2.(Ⅰ)求a1,a2,a3,a4;(Ⅱ)猜想an的表达式,并用数学归纳法加以证明.
题型:不详
难度:
来源:
数列{a
n
}中,
S
n
=4-
a
n
-
1
2
n-2
.
(Ⅰ)求a
1
,a
2
,a
3
,a
4
;
(Ⅱ)猜想a
n
的表达式,并用数学归纳法加以证明.
答案
(Ⅰ)∵
S
n
=4-
a
n
-
1
2
n-2
,∴
a
1
=4-
a
1
-
1
2
1-2
,即a
1
=1,
∵
S
2
=4-
a
2
-
1
2
2-2
,即a
1
+a
2
=4-a
2
-1,∴a
2
=1,
∵
S
3
=4-
a
3
-
1
2
3-2
,即a
1
+a
2
+a
3
=4-a
3
-
1
2
,∴a
3
=
3
4
,
∵
S
4
=4-
a
4
-
1
2
4-2
,即a
1
+a
2
+a
3
+a
4
=4-a
4
-
1
4
,∴a
3
=
1
2
,
(Ⅱ)猜想
a
n
=
n
2
n-1
证明如下:①当n=1时,a
1
=1,此时结论成立;
②假设当n=k(k∈N
*
)结论成立,即
a
k
=
k
2
k-1
,
那么当n=k+1时,有
S
k
=4-
a
k
-
1
2
k-2
=4-
2k
2
k
-
4
2
k
=4-
2k+4
2
k
∵
S
k+1
=4-
a
k+1
-
1
2
k-1
=
S
k
+
a
k+1
∴
2
a
k+1
=4-
1
2
k-1
-4+
2k+4
2
k
=
2k+4-2
2
k
=
2k+2
2
k
即
a
k+1
=
k+1
2
k
,
这就是说n=k+1时结论也成立.
根据①和②,可知对任何n∈N
*
时
a
n
=
n
2
n-1
.
举一反三
数列{a
n
}满足
a
n
+
a
n+1
=
1
2
(n∈
N
*
),
a
1
=-
1
2
,S
n
是{a
n
}的前n项和,则S
2011
=______.
题型:东城区模拟
难度:
|
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根据如图所示的程序框图,将输出a,b的值依次分别记为a
1
,a
2
,…,a
n
,…,a
2008
;b
1
,b
2
,…,b
n
,…,b
2008
.
(Ⅰ)求数列 { a
n
} 的通项公式;
(Ⅱ)写出b
1
,b
2
,b
3
,b
4
,由此猜想{ b
n
}的通项公式,并证明你的证明;
(Ⅲ)在 a
k
与 a
k+1
中插入b
k
+1个3得到一个新数列 { c
n
},设数列 { c
n
}的前n项和为S
n
,问是否存在这样的正整数m,使数列{ c
n
}的前m项的和S
m
=2008,如果存在,求出m的值,如果不存在,请说明理由.
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知数列{a
n
}的前n项和是S
n
,且2S
n
=2-a
n
.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ) 记b
n
=a
n
+n,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}满足a
1
=2,a
n+1
=2(1+
1
n
)
2
an,n∈N
*
.
(1)求数列{a
n
}的通项;
(2)设b
n
=
a
n
n
,求
n
i=1
b
i
;
(3)设c
n
=
n
a
n
,求证
n
i=1
C
i
<
17
24
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设数列{a
n
}满足:a
1
+2a
2
+3a
3
+…+na
n
=2
n
(n∈N
*
).
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设b
n
=n
2
a
n
,求数列{b
n
}的前n项和S
n
.
题型:洛阳模拟
难度:
|
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