设数列{an}满足:a1+2a2+3a3+…+nan=2n(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=n2an,求数列{bn}的前n项和Sn.
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设数列{an}满足:a1+2a2+3a3+…+nan=2n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=n2an,求数列{bn}的前n项和Sn. |
答案
(1)∵a1+2a2+3a3+…+nan=2n①, ∴n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n-1② ①-②得nan=2n-1,an=(n≥2),在①中令n=1得a1=2, ∴an= (2)∵bn=. 则当n=1时,S1=2 ∴当n≥2时,Sn=2+2×2+3×22+…+n×2n-1 则2Sn=4+2×22+3×23+…+(n-1)•2n-1+n•2n 相减得Sn=n•2n-(2+22+23+…+2n-1)=(n-1)2n+2(n≥2) 又S1=2,符合Sn的形式, ∴Sn=(n-1)•2n+2(n∈N*) |
举一反三
已知集合M={x|1≤x≤10,x∈N},对它的非空子集A,将A中每个元素k,都乘以(-1)k再求和(如A={1,3,6},可求得和为(-1)•1+(-1)3•3+(-1)6•6=2,则对M的所有非空子集,这些和的总和是______. |
数列{an}中,a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1-an,n∈N* (1)求数列{an}的通项公式; (2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn; (3)设bn=(n∈N*),Tn=b1+b2+…+bn(n∈N*),是否存在最大的整数m,使得对任意n∈N*,均有Tn>成立?若存在,求出m的值:若不存在,请说明理由. |
设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,Sn=(an+1-1),n∈N*. (1)写出a2,a3的值,并求数列{an}的通项公式; (2)记bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,试比较Tn与1的大小. |
数列{an}中,a1=1,Sn表示前n项和,且Sn,Sn+1,2S1成等差数列,通过计算S1,S2,S3,猜想当n≥1时,Sn=( ) |
设数列xn满足log2xn+1=1+log2xn(n∈N*),且x1+x2+…+x10=10,记xn的前n项和为Sn,则S20=______. |
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