设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=(-1)nan-12n,n∈N*,则(1)a3=______;(2)S1+S2+…+S100=______.

设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=(-1)nan-12n,n∈N*,则(1)a3=______;(2)S1+S2+…+S100=______.

题型:湖南难度:来源:
设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=(-1)nan-
1
2n
,n∈N*,则
(1)a3=______;
(2)S1+S2+…+S100=______.
答案
Sn=(-1)nan-
1
2n
,n∈N*
当n=1时,有a1=(-1)1a1-
1
2
,得a1=-
1
4

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-1)nan-
1
2n
-(-1)n-1an-1+
1
2n-1

an=(-1)nan+(-1)nan-1+
1
2n

若n为偶数,则an-1=-
1
2n
(n≥2)

所以an=-
1
2n+1
(n为正奇数);
若n为奇数,则an-1=-2an+
1
2n
=(-2)•(-
1
2n+1
)+
1
2n
=
1
2n-1

所以an=
1
2n
(n为正偶数).
所以(1)a3=-
1
24
=-
1
16

故答案为-
1
16

(2)因为an=-
1
2n+1
(n为正奇数),所以-a1=-(-
1
22
)=
1
22

an=
1
2n
(n为正偶数),所以a2=
1
22

-a1+a2=2×
1
22

-a3=-(-
1
24
)=
1
24
a4=
1
24

-a3+a4=2×
1
24


-a99+a100=2×
1
2100

所以,S1+S2+S3+S4+…+S99+S100
=(-a1+a2)+(-a3+a4)+…+(-a99+a100)-(
1
2
+
1
22
+…+
1
2100
)

=2(
1
4
+
1
16
+…+
1
2100
)-(
1
2
+
1
22
+…+
1
2100
)

=2•
1
4
(1-
1
450
)
1-
1
4
-
1
2
(1-
1
2100
)
1-
1
2

=
1
3
(
1
2100
-1)

故答案为
1
3
(
1
2100
-1)
举一反三
已知数列{an}的前n项和为2Sn=3an-2.
(1)求数列{an}的通项公式,
(2)若bn=log
1
3
(Sn+1),求数列{bnan}的前n项和Tn
题型:鹰潭一模难度:| 查看答案
给定正整数 n 和正数 M,对于满足条件a12+an+12≤M 的所有等差数列 a1,a2,a3,….,试求 S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值.
题型:不详难度:| 查看答案
各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有______项.
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an}满足an=n•2n,则其前n项和是(  )
A.(n-1)2n+1-2B.(n-1)2n+1+2C.(n-1)2n-2D.(n-1)2n+2
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an}的首项为1,对任意的n∈N*,定义bn=an+1-an
(Ⅰ) 若bn=n+1,求a4
(Ⅱ) 若bn+1bn-1=bn(n≥2),且b1=a,b2=b(ab≠0).
(ⅰ)当a=1,b=2时,求数列{bn}的前3n项和;
(ⅱ)当a=1时,求证:数列{an}中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次.
题型:不详难度:| 查看答案
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