已知数列{an}的首项为1,对任意的n∈N*,定义bn=an+1-an.(Ⅰ) 若bn=n+1,求a4;(Ⅱ) 若bn+1bn-1=bn(n≥2),且b1=a,
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已知数列{an}的首项为1,对任意的n∈N*,定义bn=an+1-an. (Ⅰ) 若bn=n+1,求a4; (Ⅱ) 若bn+1bn-1=bn(n≥2),且b1=a,b2=b(ab≠0). (ⅰ)当a=1,b=2时,求数列{bn}的前3n项和; (ⅱ)当a=1时,求证:数列{an}中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次. |
答案
(Ⅰ)由a1=1及bn=n+1,令n=1,得到a2=a1+b1=1+2=3, 令n=2,得到a3=a2+b2=3+3=6, 令n=4,得到a4=a3+b3=6+4=10;
(Ⅱ)(ⅰ)因为bn+1bn-1=bn(n≥2), 所以,对任意的n∈N*有bn+6====bn, 即数列{bn}各项的值重复出现,周期为6.(5分) 又数列{bn}的前6项分别为1,2,2,1,,,且这六个数的和为7. 设数列{bn}的前n项和为Sn, 则当n=2k(k∈N*)时,S3n=S6k=k(b1+b2+b3+b4+b5+b6)=7k, 当n=2k+1(k∈N*)时,S3n=S6k+3=k(b1+b2+b3+b4+b5+b6)+b6k+1+b6k+2+b6k+3=7k+b1+b2+b3=7k+5,(7分) 所以,当n为偶数时,S3n=n;当n为奇数时,S3n=.(8分)
(ⅱ)证明:由(ⅰ)知:对任意的n∈N*有bn+6=bn, 又数列{bn}的前6项分别为1,b,b,1,,,且这六个数的和为2b++2. 设cn=a6n+i(n≥0),(其中i为常数且i∈{1,2,3,4,5,6}), 所以cn+1-cn=a6n+6+i-a6n+i=b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5+b6n+i+6=2b++2. 所以,数列{a6n+i}均为以2b++2为公差的等差数列.(10分) 因为b>0时,2b++2>0,b<0时,2b++2≤-2<0,(12分) 所以{a6n+i}为公差不为零的等差数列,其中任何一项的值最多在该数列中出现一次. 所以数列{an}中任意一项的值最多在此数列中出现6次,即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次.(14分) |
举一反三
已知数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a,x2=b,Sn=x1+x2+…+xn,则下面正确的是( )A.x100=-a,S100=2b-a | B.x100=-b,S100=2b-a | C.x100=-b,S100=b-a | D.x100=-a,S100=b-a |
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对于数列{an},定义数列{an+1-an}为{an}的“差数列”. (I)若{an}的“差数列”是一个公差不为零的等差数列,试写出{an}的一个通项公式; (II)若a1=2,{an}的“差数列”的通项为2n,求数列{an}的前n项和Sn; (III)对于(II)中的数列{an},若数列{bn}满足anbnbn+1=-21•28(n∈N*),且b4=-7. 求:①数列{bn}的通项公式;②当数列{bn}前n项的积最大时n的值. |
已知数列{an}的前n项和Sn=2n-3,则数列{an}的通项公式为______. |
数列1,1+2,1+2+4,…,1+2+4+…+2n-1,…的前n项和sn=______. |
已知数列a0,a1,a2,…,an,…满足关系式(3-an+1)(6+an)=18,且a0=3,则n |
| i=0 | 的值是______. |
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