数列{an}的前n项和是Sn，若数列{an}的各项按如下规则排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，16，…，若存在整数k，使Sk＜1

题型：深圳二模难度：来源：

数列{a_n}的前n项和是S_n，若数列{a_n}的各项按如下规则排列：

1

2

，

1

3

，

2

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

1

5

，

2

5

，

3

5

，

4

5

，

1

6

，…，若存在整数k，使S_k＜10，S_k+1≥10，则a_k=______．

答案

把原数列划分成

1

2

；

1

3

，

2

3

；

1

4

，

2

4

，

3

4

；

1

5

，

2

5

，

3

5

，

4

5

；

1

6

，…
发现他们的个数是1，2，3，4，5…
构建新数列b_n，则bn=

1

2

n是个等差数列，记b_n的前n项和为T_n，
利用等差数列的和知道T5=

15

2

，T6=

21

2

，
所以a_k定在

1

7

，

2

7

，

3

7

，…，

6

7

又因为S_k＜10，S_k+1≥10，而T5+

1

7

+

2

7

+

3

7

+

4

7

+

5

7

=9+

9

14

＜10，
T5+

1

7

+

2

7

+

3

7

+

4

7

+

5

7

+

6

7

=10+

1

2

＞10
所以ak=

5

7

．
故答案为：

5

7