设函数f(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R).(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:f(x)在区间(,1)内存在唯一零点;(2)设n为偶数,|f(-

设函数f(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R).(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:f(x)在区间(,1)内存在唯一零点;(2)设n为偶数,|f(-

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设函数f(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R).
(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:f(x)在区间(,1)内存在唯一零点;
(2)设n为偶数,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,求b+3c的最小值和最大值;
(3)设n=2,若对任意x1,x2∈[-1,1],有|f(x1)-f(x2)|≤4,求b的取值范围.
答案
(1)见解析   (2)最小值为-6,最大值为0.    (3)-2≤b≤2
解析

解:(1)当b=1,c=-1,n≥2时,f(x)=xn+x-1,
∵ff(1)=×1<0,
∴f(x)在(,1)内存在零点.
又∵当x∈(,1)时,f′(x)=nxn-1+1>0,
∴f(x)在区间(,1)内单调递增,
∴f(x)在(,1)内存在唯一的零点.
(2)依题意知
.
画出可行域可知b+3c在点(0,-2)处取得最小值-6.在点(0,0)处取得最大值0,因而b+3c的最小值为-6,最大值为0.

(3)当n=2时,f(x)=x2+bx+c,
对任意x1,x2∈[-1,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤4等价于f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值之差M≤4,据此分类讨论如下:
>1,即|b|>2时,
M=|f(1)-f(-1)|=2|b|>4与题设矛盾.
若-1≤-<0,即0<b≤2时,
M=f(1)-f(-)=(+1)2≤4恒成立.
若0≤-≤1,即-2≤b≤0时,
M=f(-1)-f(-)=(-1)2≤4恒成立.
综上可知,-2≤b≤2.
举一反三
已知ab是不相等的正数,xy,则xy的大小关系是________.
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已知abc=0,则abbcca的值(  ).
A.大于0B.小于0
C.不小于0D.不大于0

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已知函数f(x)=|ln x|,若 >a>b>1,则f(a),f(b),f(c)比较大小关系正确的是(  ).
A.f(c)>f(b)>f(a)B.f(b)>f(c)>f(a)
C.f(c)>f(a)>f(b)D.f(b)>f(a)>f(c)

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a>b>cn∈N,且恒成立,则n的最大值为(  ).
A.2B.3C.4D.5

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已知f(x)为二次函数,不等式f(x)+2<0的解集是,且对任意α、β∈R恒有f(sinα)≤0,f(2+cosβ)≥0,求函数f(x)的解析式.
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