设A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系xOy上的两点,现定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A,B)为ρ(A,B)=|x2-x1|+|y2-y1|对
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设A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系xOy上的两点,现定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A,B)为ρ(A,B)=|x2-x1|+|y2-y1| 对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2), (1)若点C(x,y)是平面xOy上的点,试证明ρ(A,C)+ρ(C,B)≥ρ(A,B); (2)在平面xOy上是否存在点C(x,y),同时满足 ①ρ(A,C)+ρ(C,B)=ρ(A,B)②ρ(A,C)=ρ(C,B)若存在,请求出所有符合条件的点,请予以证明. |
答案
(1)证明:由绝对值不等式知, ρ(A,C)+ρ(C,B)=|x-x1|+|x2-x|+|y-y1|+|y2-y ≥|(x-x1)+(x2-x)|+|(y-y1)+(y2-y)| =|x2-x1|+|y2-y1| =ρ(A,B) 当且仅当(x-x1)•(x2-x)≥0,且(y-y1)•(y2-y)≥0时等号成立. (2)由ρ(A,C)+ρ(C,B)=ρ(A,B)得 (x-x1)•(x2-x)≥0且(y-y1)•(y2-y)≥0 (Ⅰ) 由ρ(A,C)=ρ(C,B)得|x-x1|+|y-y1|=|x2-x|+|y2-y|(Ⅱ) 因为A(x1,y1),B(x2,y2)是不同的两点,则:1°若x1=x2且y1≠y2, 不妨设y1<y2,由(Ⅰ)得x=x1=x2,且y1≤y≤y2, 由(Ⅱ)得y=, 此时,点C是线段AB的中点,即只有点C(,)满足条件; 2°若x1≠x2且y1=y2, 同理可得:只有AB的中点C(,)满足条件; 3°若x1≠x2且y1≠y2,不妨设x1<x2且y1<y2, 由(Ⅰ)得x1≤x≤x2且y1≤y≤y2, 由(Ⅱ)得x+y=+, 此时,所有符合条件的点C的轨迹是一条线段,即:过AB的中点(,), 斜率为-1的直线x+y=+夹在矩形AA1BB1之间的部分, 其中A(x1,y1),A1(x2,y1),B(x2,y2),B1(x1,y2). |
举一反三
已知a>b,则下列不等关系正确的是( )A.ac>bc | B.ac2>bc2 | C.2a>2b | D.a2>b2 |
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已知等差数列{an}的公差d=1,前n项和为Sn. (I)若1,a1,a3成等比数列,求a1; (II)若S5>a1a9,求a1的取值范围. |
若角α、β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是______. |
已知x,y∈R,且x>y>e(其中e是自然对数的底数),试比较xy与yx的大小,并给出证明过程. |
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