如图,公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地,现修成草坪,图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上.(1)设AD=x(x≥0),ED=y,求
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如图,公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地,现修成草坪,图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上.(1)设AD=x(x≥0),ED=y,求
题型:南通模拟
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如图,公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地,现修成草坪,图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上.
(1)设AD=x(x≥0),ED=y,求用x表示y的函数关系式;
(2)如果DE是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE的位置应在哪里?如果DE是参观线路,则希望它最长,DE的位置又应在哪里?请予证明.
答案
解(1)在△ADE中,y
2
=x
2
+AE
2
-2x•AE•cos60°⇒y
2
=x
2
+AE
2
-x•AE,①
又S
△ADE
=
1
2
S
△ABC
=
3
2
2
2
=
1
2
x•AE•sin60°⇒x•AE=2.②
②代入①得y
2
=x
2
+
(
2
x
)
2
-2(y>0),
∴y=
x
2
+
4
x
2
-2
(1≤x≤2);
(2)如果DE是水管y=
x
2
+
4
x
2
-2
≥
2•2-2
=
2
,
当且仅当x
2
=
4
x
2
,即x=
2
时“=”成立,故DE
∥
BC,且DE=
2
.
如果DE是参观线路,记f(x)=x
2
+
4
x
2
,
可知函数在[1,
2
]上递减,在[
2
,2]上递增,
故f(x)
max
=f(1)=f(2)=5.∴y
max
=
5-2
=
3
.
即DE为AB中线或AC中线时,DE最长.
举一反三
已知正数x,y满足(1+x)(1+2y)=2,则4xy+
1
xy
的最小值是______.
题型:不详
难度:
|
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设x>0,y>0,x+y+xy=2,则x+y的最小值是( )
A.
3
2
B.1+
3
C.2
3
-2
D.2-
3
题型:不详
难度:
|
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已知
2
x
+
3
y
=2(x>0,y>0)
,则xy的最小值是______.
题型:不详
难度:
|
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设a>0,b>0.若3是3
a
与3
b
的等比中项,则
1
a
+
1
b
的最小值为( )
A.4
B.2
C.1
D.
1
4
题型:不详
难度:
|
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已知a,b,c是直角三角形的三边,其中c为斜边,若实数M使不等式
1
a
+
1
b
+
1
c
≥
M
a+b+c
恒成立,则实数M的最大值是( )
A.6+2
3
B.5
+ 3
2
C.6
+2
2
D.9
题型:不详
难度:
|
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