函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x∈R,有f(x)>0;②对任意x,y∈R,有f(xy)=[f(x)]y;③;(Ⅰ)求f(0)的值;(Ⅱ)求证
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函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x∈R,有f(x)>0;②对任意x,y∈R,有f(xy)=[f(x)]y;③;(Ⅰ)求f(0)的值;(Ⅱ)求证
题型:专项题
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函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件:
①对任意x∈R,有f(x)>0;
②对任意x,y∈R,有f(xy)=[f(x)]
y
;
③
;
(Ⅰ)求f(0)的值;
(Ⅱ)求证:f(x)在R上是单调增函数;
(Ⅲ)若a>b>c>0,且b
2
=ac,求证:f(a)+f(c)>2(b)。
答案
(Ⅰ)解:令x=0,y=2,得f(0)=[f(0)]
2
,
∵f(0)>0,
∴f(0)=1.
(Ⅱ)证明:任取x
1
,x
2
∈(-∞,+∞),且x
1
<x
2
,
设
,
则p
1
<p
2
,
,
,p
1
<p
2
,
∴f(x
1
)<f(x
2
),
∴f(x)在R上是单调增函数.
(Ⅲ)证明:由(Ⅰ)(Ⅱ)知f(b)>f(0)=1,
∴f(b)>1,
,
,
而
,
∴
,
∴f(a)+f(c)>2f(b)。
举一反三
已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则
[ ]
A、
B、
C、
D、
题型:浙江省高考真题
难度:
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设函数
,(x<0),则f(x)
[ ]
A.有最大值
B.有最小值
C.是增函数
D.是减函数
题型:安徽省高考真题
难度:
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若0<a
1
<a
2
,0<b
1
<b
2
,且a
1
+a
2
=b
1
+b
2
=1,则下列代数式中值最大的是
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:江西省高考真题
难度:
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2
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题型:湖北省高考真题
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若x>0,则
的最小值为( )。
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难度:
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