解:(Ⅰ)①当a=0时,f(x)=-x+1在 上f(x)>0一定成立; ②当a≠0时, , 当a>0时,二次函数y=f(x)的图象开口向上,且与x轴有两个交点(1,0)和 , 要使f(x)>0在 上恒成立,当且仅当 ,即0<a≤1; 当a<0时,二次函数y=f(x)的图象开口向下,且与x轴有两个交点(1,0)和 , 要使f(x)>0在 上恒成立,当且仅当 ,即-2≤a≤1; 综合可得实数a的取值范围是:-2≤a≤1; (Ⅱ) ,
, 令 ,解得 或x=-1, ①当a>0时,则 ,当x变化时, 的变化情况如下表:
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191016/20191016092225-11210.gif) 所以函数H(x)在 内是增函数,在 内是减函数, 函数H(x)在x=-1处取得极大值H(-1),且 ; 函数H(x)在 处取得极小值 ,且 ; ②当-1<a<0时,则 ,当x变化时, 的变化情况如下表:
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191016/20191016092227-59980.gif) 所以函数H(x)在 内是减函数,在 内是增函数, 函数H(x)在x=-1处取得极大值H(-1),且 ; 函数H(x)在 处取得极小值 ,且 。 |