解:(Ⅰ)①当a=0时,f(x)=-x+1在上f(x)>0一定成立; ②当a≠0时,, 当a>0时,二次函数y=f(x)的图象开口向上,且与x轴有两个交点(1,0)和, 要使f(x)>0在上恒成立,当且仅当,即0<a≤1; 当a<0时,二次函数y=f(x)的图象开口向下,且与x轴有两个交点(1,0)和, 要使f(x)>0在上恒成立,当且仅当,即-2≤a≤1; 综合可得实数a的取值范围是:-2≤a≤1; (Ⅱ), , 令,解得或x=-1, ①当a>0时,则,当x变化时,的变化情况如下表:
所以函数H(x)在内是增函数,在内是减函数, 函数H(x)在x=-1处取得极大值H(-1),且; 函数H(x)在处取得极小值,且; ②当-1<a<0时,则,当x变化时,的变化情况如下表:
所以函数H(x)在内是减函数,在内是增函数, 函数H(x)在x=-1处取得极大值H(-1),且; 函数H(x)在处取得极小值,且。 |