已知函数f(x)=|x-a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实
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已知函数f(x)=|x-a|. (1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值; (2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围. |
答案
(1) a=2 (2) (-∞,5] |
解析
(1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3,解得a-3≤x≤a+3. 又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5}, 所以解得a=2. (2)方法一:当a=2时,f(x)=|x-2|, 设g(x)=f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|. 由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5, 当且仅当-3≤x≤2时等号成立,得g(x)的最小值为5. 从而,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,实数m的取值范围为(-∞,5]. 方法二:当a=2时,f(x)=|x-2|,设g(x)=f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|. 于是g(x)=|x-2|+|x+3|= 所以当x<-3时,g(x)>5; 当-3≤x≤2时,g(x)=5; 当x>2时,g(x)>5. 综上可得,g(x)的最小值为5. 从而,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,实数m的取值范围为(-∞,5]. |
举一反三
已知函数. (1)若不等式的解集为,求实数a的值;(5分) (2)在(1)的条件下,若存在实数使成立,求实数的取值范围.(5分) |
不等式解集是_____________________. |
若关于的不等式的解集不为空集,则实数的取值范围是__________. |
已知函数,。 (1)求不等式的解集; (2)若不等式有解,求实数的取值范围。 |
不等式的解集为( ) |
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