设A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系xOy上的两点,现定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A,B)为p(A,B)=|x2-x1|+|y2-y1|。
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设A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系xOy上的两点,现定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A,B)为p(A,B)=|x2-x1|+|y2-y1|。对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2), (Ⅰ)若点C(x,y)是平面xOy上的点,试证明ρ(A,C)+ρ(C,B)≥p(A,B); (Ⅱ)在平面xOy上是否存在点C(x,y),同时满足 ①ρ(A,C)+ρ(C,B)=ρ(A,B);②ρ(A,C)=ρ(C,B)。 若存在,请求出所有符合条件的点;若不存在,请予以证明。 |
答案
(Ⅰ)证明:∵, , ∴
; (Ⅱ)注意到点A(x1,y1)与点B(x2,y2)不同,下面分三种情形讨论. (1)若x1=x2,则y1≠y2, 由条件②得, 即,∴, 由条件①得, ∴, ∴,∴x=x1, 因此,所求的点C为; (2)若y1=y2,则x1≠x2,类似于(Ⅰ),可得符合条件的点C为; (3)当x1≠x2且y1≠y2时,不妨设x1<x2, (ⅰ)若y1<y2,则由(Ⅰ)中的证明知,要使条件①成立, 当且仅当(x-x1)(x2-x)≥0与(y-y1)(y2-y)≥0同时成立, 故x1≤x≤x2且y1≤y≤y2, 从而由条件②,得, 此时所求点C的全体为M={(x,y)|,x1≤x≤x2且y1≤y≤y2}; (ⅱ)若y1>y2,类似地由条件①可得x1≤x≤x2且y2≤y≤y1, 从而由条件②得, 此时所求点的全体为{(x,y)|,x1≤x≤x2且y2≤y≤y1}。 |
举一反三
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