实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,求:(1)点(a,b)对应的区域的面积;(2)b-2a-1

实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,求:(1)点(a,b)对应的区域的面积;(2)b-2a-1

题型:不详难度:来源:
实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,求:
(1)点(a,b)对应的区域的面积;
(2)
b-2
a-1
的取值范围;
( 3)(a-1)2+(b-2)2的取值范围.
答案
(1)设f(x)=x2+ax+2b,
∵方程x2+ax+2b=0的一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,
∴可得





f(0)>0
f(1)<0
f(2)>0
,即





b>0
a+2b+1<0
a+b+2>0

作出满足上述不等式组对应的点(a,b)所在的平面区域,
得到△ABC及其内部,即如图所示的阴影部分(不含边界).
其中A(-3,1),B(-2,0),C(-1,0),
S△ABC=
1
2
|BC|×yA=
1
2
×1×1=
1
2
,即为点(a,b)对应的区域的面积.

(2)设点E(a,b)为区域内的任意一点,
则k=
b-2
a-1
,表示点E(a,b)与点D(1,2)连线的斜率
kAD=
2-1
1+3
=
1
4
kCD=
2-0
1+1
=1
,结合图形可知:kAD
b-2
a-1
kCD

b-2
a-1
的取值范围是(
1
4
,1)

(3)设点E(a,b)为区域内的任意一点,
可得|DE|2=(a-1)2+(b-2)2,表示区域内的点D、E之间距离的平方
运动点E,可得当E在C点时满足|DE|2=(-1-1)2+(0-2)2=8,
在当E在A点满足|DE|2=(-3-1)2+(1-2)2=17.
由此可得(a-1)2+(b-2)2取值范围为:(8,17).
举一反三
不等式组





x≥0
y≥0
4x+3y<12
表示的平面区域中的整数点有______个.
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设z=2x+y,变量x,y满足条件





x-4y≤-3
3x+5y≤25
x≥1
,求z的最大值与最小值.
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若实数x,y满足





x≥1
x-3y≤-4
3x+5y≤30
,则z=
y+5
x+5
的最小值为(  )
A.-
17
5
B.
11
3
C.
26
15
D.
4
5
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已知点P(x、y)满足不等式组





x+y≥4
x≤4
y≤3
,则


x2+y2
的取值范围是 ______.
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设变量x,y满足约束条件:





x+y≥3
x-y≥-1
2x-y≤3
,则目标函数z=2x+3y的最小值为(  )
A.6B.7C.8D.23
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