已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,求证:①|c|≤1.②当-1≤x≤1时,|g(x)|
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已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1, 求证:①|c|≤1. ②当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2. |
答案
证明:①∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1, 令x=0得|c|=|f(0)|≤1,即|c|≤1.②当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数, ∴g(-1)≤g(x)≤g(1), 又∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1),|c|≤1, ∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2, g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2, 由此得|g(x)|≤2; 同理 当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数, ∴g(-1)≥g(x)≥g(1), 又∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1),|c|≤1, ∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2, g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(1)|+|c|)≥-2, 由此得|g(x)|≤2; 当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c. ∵-1≤x≤1, ∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2. 综上得|g(x)|≤2. |
举一反三
己知不等式组,表示的平面区域为F,在A(2,-1),B(4,-1),C (1,-2)三点中,在F内的点的个数为( ) |
P(x,y)是圆x2+(y-1)2=1上任意一点,欲使不等式x+y+c≥0恒成立,则实数c的取值范围是( )A.[-1-,-1] | B.[-1,+∞) | C.(-1-,-1) | D.(-∞,--1) |
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平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,a)(a是常数)、B(2,4),直线x-y+1=0与线段AB相交,则a的取值范围是______. |
若集合P={0,1,2},Q={(x,y)|,x,y∈P},则Q中元素的个数是( ) |
已知不等式组表示的平面区域的面积是8,则a的值是( ) |
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