解:(1)当a=0时,f(x)=x2ex,f′(x)=(x2+2x)ex, 故f′(1)=3e. 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e. (2)f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex. 令f′(x)=0,解得x=-2a,或x=a-2, 由a≠知,-2a≠a-2. 以下分两种情况讨论: ①若a>,则-2a<a-2,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
| (-∞,-2a)
| -2a
| (-2a,a-2)
| a-2
| (a-2,+∞)
| f′(x)
| +
| 0
| -
| 0
| +
| f(x)
|
| 极大值
|
| 极小值
|
| 所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)上是增函数,在(-2a,a-2)上是减函数. 函数f(x)在x=-2a处取得极大值为f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a. 函数f(x)在x=a-2处取得极小值为f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2. ②若a<,则-2a>a-2,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
| (-∞,a-2)
| a-2
| (a-2,-2a)
| -2a
| (-2a,+∞)
| f′(x)
| +
| 0
| -
| 0
| +
| f(x)
|
| 极大值
|
| 极小值
|
| 所以f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)上是增函数,在(a-2,-2a)上是减函数. 函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2), 且f(a-2)=(4-3a)ea-2. 函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a), 且f(-2a)=3ae-2a. |