已知函数f(x)=ax+x2-xln a(a>0,a≠1).(1)求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调增区间;(3)

已知函数f(x)=ax+x2-xln a(a>0,a≠1).(1)求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调增区间;(3)

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=ax+x2-xln a(a>0,a≠1).
(1)求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调增区间;
(3)若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1(e是自然对数的底数),求实数a的取值范围.
答案
(1)y=1
(2)(0,+∞)
(3)
解析
解:(1)因为函数
f(x)=ax+x2-xln a(a>0),a≠1),
所以f′(x)=ax  ln a+2x-ln a,
f′(0)=0,又因为f(0)=1,
所以函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.
(2)由(1)知f′(x)=axln a+2x-ln a
=2x+(ax-1)ln a.
因为当a>0,a≠1时,总有f′(x)在R上是增函数,又f′(0)=0,所以不等式f′(x)>0的解集为(0,+∞),故函数f(x)的单调增区间为(0,+∞).
(3)因为存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1成立,而当x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min,所以只要f(x)max-f(x)min≥e-1即可.当x变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,0)
0
(0,+∞)
f′(x)

0

f(x)

极小值

 
所以f(x)在[-1,0]上是减函数,在[0,1]上是增函数,所以当x∈[-1,1]时,f(x)的最小值f(x)min=f(0)=1,f(x)的最大值f(x)max为f(-1)和f(1)中的最大值.
f(1)-f(-1)
=(a+1-ln a)-
=a--2ln a.
令g(a)=a--2ln a(a>0),
因为g′(a)=1+2≥0,
所以g(a)=a--2ln a在a∈(0,+∞)上是增函数.
而g(1)=0,故当a>1时,g(a)>0,
即f(1)>f(-1);
当0<a<1时,g(a)<0,即f(1)<f(-1).
所以当a>1时,f(1)-f(0)≥e-1,即a-ln a≥e-1,易得函数y=a-ln a在a∈(1,+∞)上是增函数,解得a≥e;
当0<a<1时,f(-1)-f(0)≥e-1,
+ln a≥e-1,易得函数y=+ln a在a∈(0,1)上是减函数,解得0<a≤.
综上可知,实数a的取值范围为.
举一反三
已知函数f(x)=ax2+1,g(x)=x3+bx,其中a>0,b>0.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x) 在它们的交点P(2,c)处有相同的切线(P为切点),求实数a,b的值;
(2)令h (x)=f(x)+g(x),若函数h(x)的单调减区间为.
①求函数h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值M(a);
②若|h(x)|≤3在x∈[-2,0]上恒成立,求实数a的取值范围.
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,则等于  (    )
A.B.
C.D.

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设函数上可导,则等于(  )
A.B.C.D.以上都不对

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已知抛物线,和抛物线相切且与直线平行的的直线方程为 (    )
A.B.
C.D.

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若函数有极值点,且,若关于的方程的不同实数根的个数是(    )
A.3B.4C.5D.6

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