已知函数f(x)=ax+x2-xln a(a>0,a≠1).(1)求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调增区间;(3)
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已知函数f(x)=ax+x2-xln a(a>0,a≠1). (1)求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数f(x)的单调增区间; (3)若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1(e是自然对数的底数),求实数a的取值范围. |
答案
(1)y=1 (2)(0,+∞) (3) |
解析
解:(1)因为函数 f(x)=ax+x2-xln a(a>0),a≠1), 所以f′(x)=ax ln a+2x-ln a, f′(0)=0,又因为f(0)=1, 所以函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1. (2)由(1)知f′(x)=axln a+2x-ln a =2x+(ax-1)ln a. 因为当a>0,a≠1时,总有f′(x)在R上是增函数,又f′(0)=0,所以不等式f′(x)>0的解集为(0,+∞),故函数f(x)的单调增区间为(0,+∞). (3)因为存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1成立,而当x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min,所以只要f(x)max-f(x)min≥e-1即可.当x变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如下表:
x
| (-∞,0)
| 0
| (0,+∞)
| f′(x)
| -
| 0
| +
| f(x)
|
| 极小值
|
| 所以f(x)在[-1,0]上是减函数,在[0,1]上是增函数,所以当x∈[-1,1]时,f(x)的最小值f(x)min=f(0)=1,f(x)的最大值f(x)max为f(-1)和f(1)中的最大值. f(1)-f(-1) =(a+1-ln a)- =a--2ln a. 令g(a)=a--2ln a(a>0), 因为g′(a)=1+-=2≥0, 所以g(a)=a--2ln a在a∈(0,+∞)上是增函数. 而g(1)=0,故当a>1时,g(a)>0, 即f(1)>f(-1); 当0<a<1时,g(a)<0,即f(1)<f(-1). 所以当a>1时,f(1)-f(0)≥e-1,即a-ln a≥e-1,易得函数y=a-ln a在a∈(1,+∞)上是增函数,解得a≥e; 当0<a<1时,f(-1)-f(0)≥e-1, 即+ln a≥e-1,易得函数y=+ln a在a∈(0,1)上是减函数,解得0<a≤. 综上可知,实数a的取值范围为. |
举一反三
已知函数f(x)=ax2+1,g(x)=x3+bx,其中a>0,b>0. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x) 在它们的交点P(2,c)处有相同的切线(P为切点),求实数a,b的值; (2)令h (x)=f(x)+g(x),若函数h(x)的单调减区间为. ①求函数h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值M(a); ②若|h(x)|≤3在x∈[-2,0]上恒成立,求实数a的取值范围. |
若,则等于 ( ) |
已知抛物线,和抛物线相切且与直线平行的的直线方程为 ( ) |
若函数有极值点,且,若关于的方程的不同实数根的个数是( ) |
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