(13分)(2011•重庆)设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a,f′(2)=﹣b,其中常数a,b∈R.(Ⅰ)求曲线y=f(x

(13分)(2011•重庆)设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a,f′(2)=﹣b,其中常数a,b∈R.(Ⅰ)求曲线y=f(x

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(13分)(2011•重庆)设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a,f′(2)=﹣b,其中常数a,b∈R.
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
(Ⅱ)设g(x)=f′(x)e﹣x.求函数g(x)的极值.
答案
(Ⅰ)6x+2y﹣1=0(Ⅱ)g(x)=(3x2﹣3x﹣3)e﹣x在x=0时取极小值g(0)=﹣3,在x=3时取极大值g(3)=15e﹣3
解析

试题分析:(I)根据已知中f(x)=x3+ax2+bx+1,我们根据求函数导函数的公式,易求出导数f"(x),结合f"(1)=2a,f"(2)=﹣b,计算出参数a,b的值,然后求出f(1)及f"(1)的值,然后代入点斜式方程,即可得到曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
(II)根据g(x)=f′(x)e﹣1求出函数g(x)的解析式,然后求出g(x)的导数g"(x)的解析式,求出导函数零点后,利用零点分段法,分类讨论后,即可得到函数g(x)的极值.
解:(I)∵f(x)=x3+ax2+bx+1∴f"(x)=3x2+2ax+b.令x=1,得f"(1)=3+2a+b=2a,解得b=﹣3
令x=2,得f"(2)=12+4a+b=﹣b,因此12+4a+b=﹣b,解得a=﹣,因此f(x)=x3x2﹣3x+1
∴f(1)=﹣
又∵f"(1)=2×(﹣)=﹣3,
故曲线在点(1,f(1))处的切线方程为y﹣(﹣)=﹣3(x﹣1),即6x+2y﹣1=0.
(II)由(I)知g(x)=(3x2﹣3x﹣3)e﹣x
从而有g"(x)=(﹣3x2+9x)e﹣x
令g"(x)=0,则x=0或x=3
∵当x∈(﹣∞,0)时,g"(x)<0,
当x∈(0,3)时,g"(x)>0,
当x∈(3,+∞)时,g"(x)<0,
∴g(x)=(3x2﹣3x﹣3)e﹣x在x=0时取极小值g(0)=﹣3,在x=3时取极大值g(3)=15e﹣3
点评:本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及方程组的求解等有关问题,属于中档题.
举一反三
(12分)(2011•陕西)如图,从点P1(0,0)做x轴的垂线交曲线y=ex于点Q1(0,1),曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2,再从P2做x轴的垂线交曲线于点Q2,依次重复上述过程得到一系列点:P1,Q1;P2,Q2…;Pn,Qn,记Pk点的坐标为(xk,0)(k=1,2,…,n).

(Ⅰ)试求xk与xk﹣1的关系(2≤k≤n);
(Ⅱ)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|.
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(5分)(2011•重庆)曲线y=﹣x3+3x2在点(1,2)处的切线方程为(      )
A.y=3x﹣1B.y=﹣3x+5C.y=3x+5D.y=2x

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[2014·辽宁模拟]曲线y=在点(1,-1)处的切线方程为(  )
A.y=x-2B.y=-3x+2
C.y=2x-3D.y=-2x+1

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[2014·济南模拟]已知曲线y1=2-与y2=x3-x2+2x在x=x0处切线的斜率的乘积为3,则x0的值为(  )
A.-2B.2C.D.1

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[2013·江西高考]设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f′(1)=________.
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