已知函数,为常数.(1)若函数在处的切线与轴平行,求的值;(2)当时,试比较与的大小;(3)若函数有两个零点、,试证明.
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已知函数,为常数.(1)若函数在处的切线与轴平行,求的值;(2)当时,试比较与的大小;(3)若函数有两个零点、,试证明.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
,
为常数.
(1)若函数
在
处的切线与
轴平行,求
的值;
(2)当
时,试比较
与
的大小;
(3)若函数
有两个零点
、
,试证明
.
答案
(1)
;(2)①当
时,
,即
;②当
时,
;③当
时,
即
;(3)详见解析
解析
试题分析:(1)根据题意切线平行于x轴即斜率为0,则对函数求导可得
,即
,可求出a;(2)根据题意当
时,函数就确定下来了
,对其求导可得
,可研究出函数的单调性情况,为了比较大小可引入一个新的函数,即令
,则利用导数对其进行研究可得
,而
,则可由m与1的大小关系进行分类得出结论;(3)显然两零点均为正数,故不妨设
,由零点的定义可得:
,即
,观察此两式的结构特征可相加也可相减化简得:
,现在我们要证明
,即证明
,也就是
.又因为
,所以即证明
,即
.由它的结构可令
=t,则
,于是
.构造一新函数
,将问题转化为求此函数的最小值大于零,即可得证.
(1)
,由题
,
. 4分
(2)当
时,
,
,当
时,
,
单调递增,当
时,
,
单调递减.
由题,令
,
则
. 7分
又
,
①当
时,
,即
;
②当
时,
;
③当
时,
即
. 10分
(3)
,
,
,
,
, 12分
欲证明
,即证
,
因为
,
所以即证
,所以原命题等价于证明
,即证:
,
令
,则
,设
,
,
所以
在
单调递增,又因为
,所以
,
所以
,所以
16分
举一反三
已知函数
(
).
(1)若
,求函数
的极值;
(2)设
.
① 当
时,对任意
,都有
成立,求
的最大值;
② 设
的导函数.若存在
,使
成立,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知
.
(1)若
,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)若
求函数
的单调区间;
(3)若不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
,
(
为常数).
(1)函数
的图象在点
处的切线与函数
的图象相切,求实数
的值;
(2)若
,
,
、
使得
成立,求满足上述条件的最大整数
;
(3)当
时,若对于区间
内的任意两个不相等的实数
、
,都有
成立,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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曲线
在
处的切线方程为
.
题型:不详
难度:
|
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曲线
在
处的切线方程为
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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