试题分析:本题考查导数的运算,利用导数求切线方程、判断函数的单调性、求函数的最值等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想,考查综合分析和解决问题的能力.第一问,利用导数求切线方程,先求导,将切点的横坐标代入到导数中,得到切线的斜率,再求即切点的纵坐标,直接利用点斜式写出切线方程;第二问,先将代入得到解析式,求导数,判断函数的单调性,因为在有唯一的零点,所以或,所以解得或;第三问,属于恒成立问题,通过分析题意,可以转化为在上的最大值与最小值之差,因为,所以讨论的正负来判断的正负,当时,为单调函数,所以,当时,需列表判断函数的单调性和极值来决定最值的位置,这种情况中还需要讨论与1的大小. 试题解析:(1) ,所以,得. 2分 又,所以,得. 3分 (2) 因为所以, . 4分 当时,,当时, 所以在上单调递减,在上单调递增 5分 又,可知在区间内有唯一零点等价于 或, . 7分 得或. 8分 (3)若对任意的,均有,等价于 在上的最大值与最小值之差 10分 (ⅰ) 当时,在上,在上单调递增, 由,得, 所以 9分 (ⅱ)当时,由得
由得或 所以,同理 . 10分 当,即时,,与题设矛盾; 11分 当,即时,恒成立; 12分 当,即时,恒成立; 13分 综上所述,的取值范围为. 14分 |