试题分析:(Ⅰ),.∴直线的斜率为,且与函数的图象的切点坐标为. ∴直线的方程为. 又∵直线与函数的图象相切, ∴方程组有一解. 由上述方程消去,并整理得 ① 依题意,方程①有两个相等的实数根, 解之,得或 . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, . . ∴当时,,当时,. ∴当时,取最大值,其最大值为2. (Ⅲ) . , , . 由(Ⅱ)知当时, ∴当时,, . ∴ 点评:典型题,切线的斜率,等于在切点的导函数值。利用导数研究函数的极值,一般遵循“求导数、求驻点、研究导数的正负、确定极值”,利用“表解法”,清晰易懂。不等式的证明问题,往往通过构造函数,通过研究函数的最值达到目的。 |