试题分析:(I)依题意,对任意的恒成立,即在x1恒成立.则a. 而0,所以,在是减函数,最大值为1,所以,,实数的最小值。 (II)因为,且在上恰有两个不相等的实数根, 即在上恰有两个不相等的实数根, 设g(x)=,则g"(x)= 列表:
X
| (0,)
|
| (,2)
| 2
| (2,4)
|
| +
| 0
| -
| 0
| +
|
| 增函数
| 极大值
| 减函数
| 极小值
| 增函数
| 所以,g(x)极大值=g()=-ln2-b,g(x)极大值=g(2)=ln2-b-2,,g(4)=2ln2-b-1 因为,方程g(x)=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根. 则,解得. (III)设h(x)=lnx-x+1,x∈[1,+∞),则h"(x)=-1≤0 ∴h(x)在[1,+∞)为减函数,且h(x)max=h(1)=0,故当x≥1时有lnx≤x-1. ∵a1=1,假设ak≥1(k∈N*),则ak+1=lnak+ak+2>1,故an≥1(n∈N*) 从而an+1=lnan+an+2≤2an+1∴1+an+1≤2(1+an)≤…≤2n(1+a1) 即1+an≤2n,∴an≤2n-1 点评:难题,不等式恒成立问题,常常转化成求函数的最值问题。(II)(III)两小题,均是通过构造函数,研究函数的单调性、极值(最值),认识函数图象的变化形态等,寻求得到解题途径。有一定技巧性,对学生要求较高。 |