在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S1，△ABC的内切圆面积为S2，记=x. (

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在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S₁，△ABC的内切圆面积为S₂，记=x. 
(1)求函数f(x)=的解析式并求f(x)的定义域.
(2)求函数f(x)的最小值.

答案

解析

(1）如图所示:设BC=a,CA=b,AB=c,则斜边AB上的高h=,
∴S₁=πah+πbh=

∴f(x)=                ①
又 
代入①消c，得f(x)=.
在Rt△ABC中，有a=csinA,b=ccosA(0＜A＜,则
x==sinA+cosA=sin(A+). ∴1＜x≤.
(2)f(x)= +6,
设t=x－1,则t∈(0,－1),y=2(t+)+6
在(0，－1上是减函数，
∴当x=(－1)+1=时，f(x)的最小值为6+8.