已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：①f（x）的解析式为：f（x）=x3-

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：
①f（x）的解析式为：f（x）=x³-4x，x∈[-2，2]；　②f（x）的极值点有且仅有一个；  ③f（x）的最大值与最小值之和等于零，则下列选项正确的是（　　）

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

答案

∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲线过原点，∴c=0
对函数f（x）求导，得，f′（x）=3x²+2ax+b，
∵在x=±1处的切线斜率均为-1，∴f′（1）=1，f′（-1）=1，
即，3+2a+b=-1，3-2a+b=-1
解得a=0，b=-4
∴（x）=x³-4x，x∈[-2，2]，①正确．
f′（x）=3x²-4，令f′（x）=0，得，x=±

2 3

3

，∴f（x）的极值点有两个，②错误
f（-2）=0，f（-

2 3

3

）=

16 3

6

，f（

2 3

3

）=-

16 3

6

，f（2）=0
∴f（x）的最大值为

16 3

6

，最小值为-

16 3

6

，最大值与最小值之和等于零．③正确．
故选B