如图,在平面直角坐标系xoy中,设点F(0,p)(p>0),直线l:y=-p,点P在直线l上移动,R是线段PF与x轴的交点, 过R、P分别作直线l1、l2,使l

如图,在平面直角坐标系xoy中,设点F(0,p)(p>0),直线l:y=-p,点P在直线l上移动,R是线段PF与x轴的交点, 过R、P分别作直线l1、l2,使l

题型:山东省模拟题难度:来源:

如图,在平面直角坐标系xoy中,设点F(0,p)(p>0),直线l:y=-p,点P在直线l上移动,R是线段PF与x轴的交点, 过R、P分别作直线l1、l2,使l1⊥PF,l2⊥l
(Ⅰ)求动点Q的轨迹C的方程;
(Ⅱ)在直线l上任取一点M做曲线C的两条切线,设切点为A、B,求证:直线AB恒过一定点;
(Ⅲ)对(Ⅱ)求证:当直线MA,MF,MB的斜率存在时,直线MA,MF,MB的斜率的倒数成等差数列.



答案
(Ⅰ)依题意知,点R是线段FP的中点,且RQ⊥FP,
∴RQ是线段FP的垂直平分线.   
∴|PQ|=|QF|.
故动点Q的轨迹C是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为:
(Ⅱ)设,两切点为
,求导得
∴两条切线方程为 ①  
②   
对于方程①,代入点M(m,-p)得,

整理得:
同理对方程②有即x1,x2为方程的两根
.∴ ③   
设直线AB的斜率为k,
所以直线AB的方程为
展开得:
代入③得:
∴直线恒过定点(0.p).   
(Ⅲ) 证明:由(Ⅱ)的结论,设(0.p), 且有
   ∴               

=                                                  
又∵
所以即直线MA,MF,MB的斜率倒数成等差数列.    
举一反三
设函数f(x)=g(2x-1)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为   [     ]
A.x-6y-2=0    
B.6x-y-2=0    
C.6x-3y-1=0
D.y-2=0
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函数f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2-x+2
(1)如果函数g(x)单调减区调为,求函数g(x)解析式;
(2)在(1)的条件下,求函数y=g(x)图象过点p(1,1)的切线方程;
(3)若x0∈(0,+∞),使关于x的不等式2f(x)≥g"(x)+2成立,求实数a取值范围.
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曲线处切线的斜率为[     ]
A.          
B.          
C.            
D.
题型:浙江省期中题难度:| 查看答案
已知,过点作函数图像的切线,则切线方程为(    )
题型:浙江省期中题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b ∈R)。对任意x0 ∈[0,1] ,y=f(x) 的图像在x=x0处的切线的斜率为k ,当|k| ≤1 时,a的取值范围是[     ]
A.[1, )        
B.[1, ]          
C.[1,2]          
D.[1,
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