已知a是实数,函数f(x)=x2(x﹣a).(Ⅰ)若f′(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)求f(x)在区间[0,2]
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已知a是实数,函数f(x)=x2(x﹣a). (Ⅰ)若f′(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)求f(x)在区间[0,2]上的最大值. |
答案
解:(I)f"(x)=3x2﹣2ax.因为f"(1)=3﹣2a=3,所以a=0. 又当a=0时,f(1)=1,f"(1)=3, 则切点坐标(1,1),斜率为3 所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y﹣1=3(x﹣1) 化简得3x﹣y﹣2=0. (II)令f"(x)=0,解得. 当,即a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递增,从而fmax=f(2)=8﹣4a. 当时,即a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减,从而fmax=f(0)=0. 当,即0<a<3,f(x)在上单调递减,在上单调递增, 从而 综上所述, |
举一反三
设m∈R,已知函数f(x)=﹣x2-2mx2+(1-2m)x+3m-2,若曲线y=f(x)在x=0处的切线恒过定点P,则点P的坐标为( )。 |
若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则a=( ). |
设曲线y=xlnx﹣e上点(e,0)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=( ) |
设函数f(x)=g(x)+cosx,曲线y=g(x)在点A处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点B处切线的方程为( ) |
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