已知函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a,b∈R。(1)设两曲线y=f(x)与y=g(x)有公共点,且在公共点处的切线相同,若a>0,

已知函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a,b∈R。(1)设两曲线y=f(x)与y=g(x)有公共点,且在公共点处的切线相同,若a>0,

题型:模拟题难度:来源:
已知函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a,b∈R。
(1)设两曲线y=f(x)与y=g(x)有公共点,且在公共点处的切线相同,若a>0,试建立b关于a的函数关系式,并求b的最大值;
(2)若b=0时,函数h(x)=f(x)+g(x)-(2a+6)x在(0,4)上为单调函数,求a的取值范围。
答案

解:(1)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x0,y0)处的切线相同,
f′(x)=x+2a,g′(x)=
由题意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0

解得x0=a或x0=-3a(舍去),b=(a>0),
b"(a)=5a-6alna-3a=2a(1-3lna),


(2)
要使h(x)在(0,4)上单调,须h′(x)=x+-6≤0或h′(x)=x+-6≥0在(0,4)上恒成立,
h′(x)=x+-6≤0在(0,4)上恒成立3a2≤-x2+6x在(0,4)上恒成立,
而-x2+6x>0,且-x2+6x可为足够小的正数,必有a=0或在(0,4)上恒成立
,得a≥3或
综上,所求a的取值范围为或a=0。

举一反三
如果f′(x)是二次函数,且f′(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1,),那么曲线y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是  [     ]
A.
B.
C.
D.
题型:辽宁省月考题难度:| 查看答案
已知过点(1,1)的直线l与曲线y=x3相切,求直线l的方程。
题型:广东省模拟题难度:| 查看答案
已知函数f (x )=ex+
(Ⅰ)当时,求函数f(x)在x=0处的切线方程;
(Ⅱ)函数f(x)是否存在零点,若存在,求出零点的个数;若不存在,说明理由。
题型:河北省模拟题难度:| 查看答案
曲线y=ax3+bx-1在点(1,f(1))处的切线方程为y=x,则b-a=[     ]
A.-3  
B.2
C.3
D.4
题型:新疆自治区模拟题难度:| 查看答案
已知f(x)=lnx,,直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且与f(x)图象的切点为(1,f(x)),则m=[     ]
A、-1          
B、-3          
C、-4          
D、-2
题型:海南省模拟题难度:| 查看答案
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