已知函数f（x）=x4-3x2+6，（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程。

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已知函数f（x）=x⁴-3x²+6，
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程。

答案

解：（Ⅰ），
当x∈和x∈时，f′（x）＜0；
当x∈和x∈时，f′（x）＞0；
因此，f（x）在区间和是减函数，
f（x）在区间和是增函数。
（Ⅱ）设点P的坐标为（x₀，f（x₀）），
由l过原点知，l的方程为y=f′（x₀）x，
因此，f（x₀）=x₀f′（x₀），
即：x₀⁴-3x₀²+6-x₀（4x₀³-6x₀）=0，
整理得（x₀²+1）（x₀²-2）=0，解得或，
因此切线l的方程为或。