解:, (1)由题意可得f′(1)=2(1-a3)=0,解得a=1, 此时f(1)=4,在点(1,f(1))处的切线为y=4,与直线y=1平行, 故所求的a值为1; (2)由f′(x)=0可得x=a,a>0, ①当0<a≤1时,f′(x)>0在(1,2]上恒成立, 所以y=f(x)在[1,2]上递增,所以f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)=2a3+2; ②当1<a<2时,
由上表可得y=f(x)在[1,2]上的最小值为f(a)=3a2+1; ③当a≥2时,f′(x)<0在[1,2)上恒成立, 所以y=f(x)在[1,2]上递减,所以f(x)在[1,2]上的最小值为f(2)=a3+5; 综上讨论,可知: 当0<a≤1时,y=f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)=2a3+2; 当1<a<2时,y=f(x)在[1,2]上的最小值为f(a)=3a2+1; 当a≥2时,y=f(x)在[1,2]上的最小值为f(2)=a3+5。 |