已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+ln x.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当a>0时,若f(x)在区间
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+ln x. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当a>0时,若f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求a的取值范围; (3)若对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立,求a的取值范围. |
答案
(1)y=-2. (2)[1,+∞) (3)[0,8] |
解析
(1)当a=1时,f(x)=x2-3x+ln x,f′(x)=2x-3+. 因为f′(1)=0,f(1)=-2. 所以切线方程是y=-2. (2)函数f(x)=ax2-(a+2)x+ln x的定义域是(0,+∞). 当a>0时,f′(x)=2ax-(a+2)+= (x>0), 令f′(x)=0,即f′(x)= ==0, 所以x=或x=. 当0<≤1,即a≥1时,f(x)在[1,e]上单调递增, 所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(1)=-2; 当1<<e时,f(x)在[1,e]上的最小值是f<f(1)=-2,不合题意; 当≥e时,f(x)在(1,e)上单调递减, 所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(e)<f(1)=-2,不合题意. 综上a的取值范围是[1,+∞). (3)设g(x)=f(x)+2x,则g(x)=ax2-ax+ln x, 只要g(x)在(0,+∞)上单调递增即可. 而g′(x)=2ax-a+=, 当a=0时,g′(x)=>0,此时g(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a≠0时,只需g′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,因为x∈(0,+∞),只要2ax2-ax+1≥0,则需要a>0, 对于函数y=2ax2-ax+1,过定点(0,1),对称轴x=>0,只需Δ=a2-8a≤0, 即0<a≤8. 综上a的取值范围是[0,8]. |
举一反三
已知,则= . |
下列函数求导运算正确的个数为( ) ①(3x)′=3xlog3e;②(log2x)′=;③(ex)′=ex;④()′=x;⑤(x·ex)′=ex+1. |
设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为( ) |
最新试题
热门考点