已知二次函数f（x）=ax2+bx+1为偶函数，且f（-1）=-1．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若函数g（x）=f（x）+（2-k）x在区间[-2，2

题型：解答题难度：一般来源：宁德模拟

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1为偶函数，且f（-1）=-1．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若函数g（x）=f（x）+（2-k）x在区间[-2，2]上单调递减，求实数k的取值范围．

答案

（I）∵二次函数f（x）=ax²+bx+1为偶函数，
故函数f（x）的图象关于y轴对称
即x=-

b

2a

=0，即b=0
又∵f（-1）=a+1=-1，即a=-2．
故f（x）=-2x²+1
（II）由（I）得g（x）=f（x）+（2-k）x=-2x²+（2-k）x+1
故函数g（x）的图象是开口朝下，且以x=

2-k

4

为对称轴的抛物线
故函数g（x）在[

2-k

4

，+∞）上单调递减，
又∵函数g（x）在区间[-2，2]上单调递减，
∴

2-k

4

≤-2
解得k≥10
故实数k的取值范围为[10，+∞）