已知函数f(x)= (a∈R).(1)求f(x)的极值;(2)若函数f(x)的图象与函数g(x)=1的图象在区间(0,e2]上有公共点,求实数a的取值范围.
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)= (a∈R). (1)求f(x)的极值; (2)若函数f(x)的图象与函数g(x)=1的图象在区间(0,e2]上有公共点,求实数a的取值范围. |
答案
(1)f(x)在x=e1-a处取得极大值,f(x)极大值=f(e1-a)=ea-1,无极小值 (2)[1,+∞) |
解析
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=, 令f′(x)=0得x=e1-a, 当x∈(0,e1-a)时,f′(x)>0,f(x)是增函数; 当x∈(e1-a,+∞)时,f′(x)<0,f(x)是减函数, ∴f(x)在x=e1-a处取得极大值,f(x)极大值=f(e1-a)=ea-1,无极小值. (2)①当e1-a<e2时,即a>-1时, 由(1)知f (x)在(0,e1-a)上是增函数,在(e1-a,e2]上是减函数, ∴f(x)max=f(e1-a)=ea-1, 又当x=e-a时,f(x)=0, 当x∈(0,e-a]时,f(x)<0;当x∈(e-a,e2]时,f(x)>0; ∵f(x)的图象与g(x)=1的图象在(0,e2]上有公共点, ∴ea-1≥1,解得a≥1,又a>-1,所以a≥1. ②当e1-a≥e2时,即a≤-1时,f(x)在(0,e2]上是增函数, ∴f(x)在(0,e2]上的最大值为f(e2)=, 所以原问题等价于≥1,解得a≥e2-2. 又a≤-1,所以此时a无解. 综上,实数a的取值范围是[1,+∞). |
举一反三
已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+ln x. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当a>0时,若f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求a的取值范围; (3)若对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立,求a的取值范围. |
已知,则= . |
下列函数求导运算正确的个数为( ) ①(3x)′=3xlog3e;②(log2x)′=;③(ex)′=ex;④()′=x;⑤(x·ex)′=ex+1. |
设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为( ) |
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