试题分析:(1)将代入后对函数求导,可得,令,可解得函数的单调区间,从而判断出极值; (2) 构造函数,由知,故不等式成立;(3)假设存在实数a,使()有最小值-1,,对进行讨论,注意,当时,,无最小值;当时,,得;当时,,,得(舍去),存在实数,使得在上的最小值为-1. 解:(1)当a=1时,,, (1分) 令,得x=1. 当时,,此时单调递减; (2分) 当时,,此时单调递增. (3分) 所以的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,e),的极小值为 (4分) (2)由(1)知在上的最小值为1.(5分) 令,,所以.(6分) 当时,,在上单调递增, (7分) 所以. 故在(1)的条件下,.(8分) (3)假设存在实数a,使()有最小值-1. 因为, (9分) ①当时,,在上单调递增,此时无最小值; (10分) ②当时,当时,,故在(0,a)单调递减;当时,,故在(a,e)单调递增; (11分) 所以,得,满足条件; (12分) ③当时,因为,所以,故在上单调递减. ,得(舍去); (13分) 综上,存在实数,使得在上的最小值为-1.(14分) |