试题分析:(1)先求,再利用判断函数的单调性并求最值; (2)思路一:由,分,,三种情况研究函数的单调性,判断与的关系,确定的取值范围. 思路二:由,因为,所以 令,,显然,知为单调递减函数, 结合在上恒成立,可知在恒成立,转化为,从而求得的取值范围. (3)在中令,得时,.将代入上述不等式,再将得到的个不等式相加可得结论. 解证:(1), 1分 当时,;当时,;当时,; 所以函数在区间上单调递增,在区间上单调递减; 3分 故. 4分 (2)解法一:, 5分 当时,因为时,所以时,; 6分 当时,令,. 当时,,单调递减,且, 故在内存在唯一的零点,使得对于有, 也即.所以,当时; 8分 当时,时,所以,当时 9分 综上,知的取值范围是. 10分 解法二:, 5分 令,. 当时,,所以单调递减. 6分 若在内存在使的区间, 则在上是增函数,,与已知不符. 8分 故,,此时在上是减函数,成立. 由,恒成立,而, 则需的最大值,即,, 所以的取值范围是. 10分 (3)在(2)中令,得时,. 11分 将代入上述不等式,再将得到的个不等式相加,得. 14分 |