试题分析:(1)先求 ,再利用 判断函数 的单调性并求最值; (2)思路一:由 ,分 , , 三种情况研究函数 的单调性,判断 与 的关系,确定 的取值范围. 思路二:由 ,因为 ,所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018021856-28980.png) 令 , ,显然![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018021856-56609.png) ,知 为单调递减函数, 结合 在 上恒成立,可知![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018021856-23789.png) 在 恒成立,转化为 ,从而求得 的取值范围. (3)在 中令 ,得 时, .将 代入上述不等式,再将得到的 个不等式相加可得结论. 解证:(1) , 1分 当 时, ;当 时, ;当 时, ; 所以函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减; 3分 故 . 4分 (2)解法一: , 5分 当 时,因为 时 ,所以 时, ; 6分 当 时,令 , . 当 时, , 单调递减,且 , 故 在 内存在唯一的零点 ,使得对于 有 , 也即 .所以,当 时 ; 8分 当 时, 时 ,所以,当 时 9分 综上,知 的取值范围是 . 10分 解法二: , 5分 令 , . 当 时, ,所以 单调递减. 6分 若在 内存在使 的区间 , 则 在 上是增函数, ,与已知不符. 8分 故 , ,此时 在 上是减函数, 成立. 由 , 恒成立,而 , 则需 的最大值 ,即 , , 所以 的取值范围是 . 10分 (3)在(2)中令 ,得 时, . 11分 将 代入上述不等式,再将得到的 个不等式相加,得 . 14分 |