试题分析:(1)先求得,令,得或,因为要考虑根与定义域的位置关系,故需讨论n的取值.当时,,此时,函数单调递减;当时,,将定义域分段,并考虑导函数符号,划分单调区间,判断函数大致图象,进而求最大值,从而求得;(2)由(1)得,将所求证不等式等价变形为,,再利用二项式定理证明;(3)由(2)得,,再将不等式放缩为可求和的数列问题处理. (1) , 当时,由知或, 当时,则,时,,在上单调递减, 所以 当时,,时,,时,, ∴在处取得最大值,即, 综上所述,. (2)当时,要证,只需证明 ∵
∴,所以,当时,都有成立. (3)当时,结论显然成立; 当时,由(II)知
. 所以,对任意正整数,都有成立. 13分 |